Основные методы решения тригонометрических уравнений






Скачать 61.08 Kb.
НазваниеОсновные методы решения тригонометрических уравнений
Дата публикации01.11.2013
Размер61.08 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы
Основные методы решения тригонометрических уравнений


При решении многих математических задач, особенно тех, которые встречаются до 10 класса, порядок выполняемых действий, которые приведут к цели, определен однозначно. К таким задачам можно отнести, например, линейные и квадратные уравнения, линейные и квадратные неравенства, дробные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным. Принцип успешного решения каждой из упомянутых задач заключается в следующем: надо установить, к какому типу относится решаемая задача, вспомнить необходимую последовательность действий, которые приведут к нужному результату, т.е. ответу, и выполнить эти действия.

Очевидно, что успех или неуспех в решении той или иной задачи зависит главным образом от того, насколько правильно определен тип решаемого уравнения, насколько правильно воспроизведена последовательность всех этапов его решения. Разумеется, при этом необходимо владеть навыками выполнения тождественных преобразований и вычислений.

Иная ситуация получается с тригонометрическими уравнениями. Установить факт того, что уравнение является тригонометрическим, совсем нетрудно. Сложности появляются при определении последовательности действий, которые бы привели к правильному ответу.

По внешнему виду уравнения порой бывает трудно определить его тип. А не зная типа уравнения, почти невозможно выбрать из нескольких десятков тригонометрических формул нужную.

Приведем несколько рекомендаций по решению тригонометрических уравнений.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться:

1. Привести все функции входящие в уравнение к «одинаковым углам»;
2. Привести уравнение к «одинаковым функциям»;
3. Разложить левую часть уравнения на множители и т.п.

Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

I. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям

Схема решения

Шаг 1. Выразить тригонометрическую функцию через известные компоненты.

Шаг 2. Найти аргумент функции по формулам:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1)n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x = a; x = arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Шаг 3. Найти неизвестную переменную.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Ответ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена переменной

Схема решения

Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций.

Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t).

Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение.

Шаг 4. Сделать обратную замену.

Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример.

2cos2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – sin2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Пусть sin (x/2) = t, где |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или е = -3/2, не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.

4) sin (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Ответ: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод понижения порядка уравнения

Схема решения

Шаг 1. Заменить данное уравнение линейным, используя для этого формулы понижения степени:

sin2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Шаг 2. Решить полученное уравнение с помощью методов I и II.

Пример.

cos 2x + cos2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 · cos 2x = 3/4;

cos 2x = 1/2;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Ответ: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Однородные уравнения

Схема решения

Шаг 1. Привести данное уравнение к виду

a) a sin x + b cos x = 0 (однородное уравнение первой степени)

или к виду

б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0 (однородное уравнение второй степени).

Шаг 2. Разделить обе части уравнения на

а) cos x ≠ 0;

б) cos2 x ≠ 0;

и получить уравнение относительно tg x:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg2 x + b arctg x + c = 0.

Шаг 3. Решить уравнение известными способами.

Пример.

5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x + cos2 x) = 0;

5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x = 0;

sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0/cos2 x ≠ 0.

2) tg2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Пусть tg x = t, тогда

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, значит

tg x = 1 или tg x = -4.

Из первого уравнения x = π/4 + πn, n Є Z; из второго уравнения x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Ответ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод преобразования уравнения с помощью тригонометрических формул

Схема решения

Шаг 1. Используя всевозможные тригонометрические формулы, привести данное уравнение к уравнению, решаемому методами I, II, III, IV.

Шаг 2. Решить полученное уравнение известными методами.

Пример.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Решение.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Из первого уравнения 2x = π/2 + πn, n Є Z; из второго уравнения cos x = -1/2.

Имеем х = π/4 + πn/2, n Є Z; из второго уравнения x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

В итоге х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Умения и навыки решать тригонометрические уравнения являются очень важными, их развитие требует значительных усилий, как со стороны ученика, так и со стороны учителя.

С решением тригонометрических уравнений связаны многие задачи стереометрии, физики, и др. Процесс решения таких задач как бы заключает в себе многие знания и умения, которые приобретаются при изучении элементов тригонометрии.

Тригонометрические уравнения занимают важное место в процессе обучения математики и развития личности в целом.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconУрока: обобщить теоретические знания по теме «Тригонометрические уравнения»
Повторение теоретического материала по теме «Формулы корней простейших тригонометрических уравнений. Основные приёмы решения тригонометрических...

Основные методы решения тригонометрических уравнений icon«Способы решения тригонометрических уравнений»
На экзаменах по математике для поступающих в вузы, олимпиадах часто встречаются задания на решение тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconРеферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными»
I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconАлимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник...
Тригонометрические функции суммы и разности аргументов. Тригонометрические функции кратных аргументов. Суммы, разности, произведения...

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconПрограмма элективного курса для учащихся 11 класса «методы решения...
Необходимо предоставлять учащимся возможность выбора дисциплины для более глубокого изучения

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconИсследование данной работы лежит в области математики, в разделе «Тригонометрия»
«Тригонометрия», и посвящено методам решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, методам решения тригонометрических...

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconРеферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных...
Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось...

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconАпробирование мультимедиа-сопровождения урока по математике (раздел...
Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции” путем проведения мастер-классов для учителей...

Основные методы решения тригонометрических уравнений iconУрок математики: "Логарифмическая функция в уравнениях и неравенствах"
Образовательные – отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмической функции; применять их при решении логарифмических...

Основные методы решения тригонометрических уравнений icon«Тригонометрические уравнения» (2 часа)
В школьном курсе подробно изучаются три основных метода решения тригонометрических уравнений – метод введения нового неизвестного,...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2015
контакты
top-bal.ru

Поиск