8 класс Статистические характеристики. Статистические характеристики
Скачать 139.89 Kb.
|
| 8 класс Статистические характеристики. Статистические характеристики – это математические понятия, с помощью которых описываются отличительные особенности и свойства совокупности данных, полученных с помощью наблюдений или каким-то другим способом. Значение характеристик состоит еще и в том, что они «подсказывают», с каких позиций целесообразно анализировать имеющуюся совокупность данных. К статистическим характеристикам относятся: среднее арифметическое, размах, мода, медиана. Среднее арифметическое n чисел - это частное от деления на n суммы всех этих чисел. Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом в ряде. Мода ряда чисел – это число, наиболее часто встречающееся в ряду. Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию). Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить (по возрастанию или убыванию). Статистические характеристики: среднее арифметическое, мода, медиана называются средние результатов измерений Если в ряду, многие числа повторяются, то для таких рядов удобно составлять таблицу частот. Для того чтобы составить таблицу частот, нужно для каждого числа из данного ряда посчитать, сколько раз данное число встречается в этом ряду. Затем полученные данные внести в таблицу, в первой колонке которой – число ряда, а во второй – количество появлений этого числа в ряде данных (частота). Пример: Мальчики из 8 класса стали следить, кого сколько раз спрашивали по алгебре. Результаты их наблюдений за месяц приведены в следующей таблице.
Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиану полученного ряда. Решение: Так как в этом ряду числа повторяются, составим таблицу частот.
Найдем среднее арифметическое этого ряда:  Найдем размах ряда: Наименьшее число этого ряда 1, а наибольшее - 7 . Значит размах ряда 7 – 1 = 6. Найдем моду ряда: Наиболее часто встречающееся в ряду число 5. Мода равна 5. Найдем медиану ряда, для этого расположим числа ряда в порядке возрастания. 1; 2; 3; 4; 5; 7. В ряду нечетное количество чисел. Значит, медианой ряда является число 4. Ответ: 4; 6; 4. Задачи № 1 В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные работы по алгебре: одну «двойку», три «тройки», четыре «четверки», и три «пятерки». Найдите среднее арифметическое, моду и медиану этих данных. № 2 Столбчатая диаграмма, изображенная на рисунке 1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы. Ответьте на вопросы:
 Рис 1  № 3 За четверть Люда получила по геометрии пять «двоек», четыре «четверки» и две «пятерки». Ее мама считает, что за четверть Люде надо ставить «двойку», папа считает, что надо ставить «тройку», а сама Люда считает, что надо ставить «четверку». Попробуйте привести аргументы в пользу каждой точки зрения (какие статистические характеристики вычисляет каждый член семьи?). Какую бы оценку вы поставили Люде? № 4. Маша, Саша, Катя, Лена, Ваня и Миша пошли в пиццерию. Ваня съел 5 кусков, Миша, Саша и Лена – по 3 куска, Катя – 2 куска, Маша – 1 кусок. Найдите все известные вам средние этих данных. Если бы Ваня съел не 5, а 7 кусков пиццы, как бы изменились эти величины? № 5. Постройте ряд из четырех или более чисел (не все из которых равны между собой), у которого:
№ 6. Сто человек были опрошены, каков их средний месячный заработок. Ответы представлены на диаграмме, приведенной на рисунке 2.  Рис.2
№7. Известно, что среднее арифметическое ряда равно 2, а его медиана равна 3, может ли его мода быть равна 1? ^ События называют равновозможные (или равновероятны), когда нет оснований считать одно событие вероятнее другого. Примеры равновозможных событий: выпадение «орла» или «решки» при бросании монеты; выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании кубика, вытаскивание любой из 36 карт из колоды. Во всех этих примерах исходы равновозможны, если монета и кубик «правильные», колода карт хорошо перетасована и т. д. Вероятность случайного события можно оценить по относительной частоте его появления в серии одинаковых экспериментов. Такую вероятность можно назвать экспериментальной или «апостериорной» (от лат. a posteriori – на основании опыта). Чтобы вычислить вероятность выпадения «орла», английский математик Карл Пирсон провел 24 000 экспериментов по бросанию монеты. Но мы не можем провести десятки тысяч испытаний для экспериментального вычисления возможности выигрыша в лотерею. Нам просто не хватит денег. Во многих ситуациях вероятность можно получить «априорным» способом (от лат. a priori – заранее, независимо от опыта). Это такие случаи, когда исходы эксперимента равновероятны. Самый простой из примеров такого рода – это подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода – «орел» или «решка». Экспериментально установили, что вероятность появления «орла» равна вероятности появления «решки» и рана  . Но этот результат нетрудно предугадать и без проведения опытов. Так как при бросании монеты возможны два равновероятных исхода, то вероятность каждого из них равна .Точно так же при бросании «правильного» кубика все шесть исходов случайного эксперимента равновозможны. Поэтому вероятность каждого из шести исходов (выпадение 1 очка, 2 очков и т. д.) равна  .Для опытов с равновероятными исходами можно использовать классическое определение вероятности. Такое определение было впервые дано в работах французского математика Лапласа. Вероятностью P наступления случайного события A называется отношение  , где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:  .Пусть ровно m из n исходов приводят к наступлению некоторого события A. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события. Пример №1. На экзамене – 24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастливый билет?Решение: Всего у данного эксперимента «вытянуть наугад один билет» 24 исхода, все они равновероятны. У Андрея только один шанс из 24 вытянуть несчастливый билет. Поэтому вероятность того, что ему достанется несчастливый билет, равна  .Ответ:  .^ В лотерее 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет? Решение: В лотерее разыгрывается всего  билетов, любой из них можно купить с одинаково вероятностью. Есть 10 шансов из 250 выиграть, и, следовательно, вероятность выигрыша равна  .Ответ:  .Пример №3. (Задача Даламбера.) Какова вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотя бы один раз выпадет «орел»? Решение: Изобразим дерево возможных исходов  Эксперимент имеет 4 равновозможных исхода, в первых трех из них происходит интересующее нас случайное событие. Поэтому вероятность того, что при двух бросаниях монеты хотя бы один раз выпадет «орел», равна  .Ответ:  .^ В лотерее участвуют 300 билетов с номерами от 001 до 300, один билет выигрышный. Какова вероятность того, что номер выигрышного билета заканчивается цифрой 5? Решение: Каждая из десяти цифр может с равной вероятностью оказаться последней в номере выигрышного билета. Поэтому вероятность того, что номер заканчивается цифрой 5, равна  .Ответ:  .Задачи. №1. Равновероятны ли следующие события:
В: из 50 билетов вытянуть наугад билет № 23?
В: при подбрасывании кубика выпадет нечетное число очков?
В: промах при выстреле в мишень?
В: проиграть в лотерею?
В: 1 июня будет дождь? Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) нет. №2. В вазочке перемешаны 15 конфет «Мишка на севере» и 5 конфет «Белочка». Когда из-за аварии погас свет, Женя наугад схватил одну конфету. Какова вероятность, что ему досталась «Белочка»? Ответ:  .№3. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что оно окажется:
Ответ: 1) ; 2)  ; 3)  .№4. В классе 30 человек. Вероятность того, что при случайном выборе одного ученика по номеру в журнале выбранным окажется мальчик, равна  . Сколько в этом классе девочек?Ответ: 20 девочек. №5. На трех местную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и одна женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом? Ответ:  (рассмотреть 6 вариантов расположения).№6. Бросается одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет равна 12? Ответ:  (всего 36 равновероятных исходов – количество очков выпавших на первом кубике не зависит от количества очков на втором кубике, благоприятных исходов 1).№7. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты трижды выпадет герб? Ответ: (составить дерево возможных исходов). №8. Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из выбранных отрезков можно составить треугольник? Ответ: .№9. Наугад выбрано число от 1 до 1 000 000. Какова вероятность того, что оно окажется полным квадратом? Ответ:  . Геометрические вероятности. Пример № 1: На квадратном столе площадью 0,6 м2 выделен черный квадрат площадью 0,04 м2. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадрат, если ее бросить на стол наугад (например, с закрытыми глазами)?  Решение: Так как фишка может оказаться в любой точке стола, то число исходов эксперимента бесконечно, поэтому приходиться считать не их количество, а занимаемую ими площадь. Размерами фишки мы пренебрегаем, поскольку иначе фишка могла попасть бы и на стол и на квадрат одновременно. Тогда вероятность того, что фишка попадет в черный квадрат P  .Ответ:  .Так же принято считать, что пуля с одинаковой вероятностью попадет в любое место мишени, а мяч или шайба - в любое место ворот. Такая ситуация возможна и в некоторых геометрических задачах, связанных со случайным выбором точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Пусть фигура F1 содержится в фигуре F. Тогда вероятность попадания в фигуру F1 при условии попадания в фигуру F равна отношению площадей и называется геометрической вероятностью. Задачи. № 1. Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень и попадает (рис.3).Какова вероятность того, что он попадет в «тройку»? «двойку»? «единицу»?  Рис.3 Ответ:  .№ 2. Брошенная наугад фишка попадает в фигуру, изображенную на рисунке 4. Какова вероятность того, что она попадает при этом в заштрихованную часть фигуры? Ответ: 0,036. № 3. На рисунке 4 изображена квадратная мишень и некоторые фигуры на ней AD = 1, AN = . Стрелок не целясь, стреляет в мишень и попадает. Известно, что вероятность попадания в прямоугольник ABMN равна вероятности попадания в треугольник KCD. Найти длину отрезка KD.  Рис.4 Ответ: № 4. Случайным образом выбирают пару чисел x и y таких, что  . Определите вероятность того, что при этом выполняются неравенства:  . Для этого:
Ответ: № 5. Фишка наугад бросается в квадрат со стороной 1 и попадает в некоторую точку М. Какова вероятность того, что:
Ответ: 0,75;  .№ 6. Случайным образом выбирают пару чисел x и y таких, что  . Установите, существуют ли такие числа a и b, что вероятность того, что при этом выборе выполняются неравенства  ,равна:
Ответ: №7. Фигура F задана на координатной плоскости следующими условиями:  .Известно, что центр квадрата со сторонами, параллельными осям координат, принадлежит фигуре F. Сторона квадрата равна 2. Какова вероятность того, что квадрат целиком содержится в фигуре F? Ответ:  .^
Цель: Сформировать представления о возможностях описания и обработки данных с помощью различных средних, познакомить учащихся с вычислениями вероятности случайного события с помощью классической формулы вероятности и из геометрических соображений. ^ Статистические характеристики. Вариант 1
Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое этого ряда.
Вариант 2
Найдите размах, моду, медиану и среднее арифметическое этого ряда. 2. Постройте ряд из четырех чисел, у которого размах равен 2, а среднее арифметическое равно медиане. Вероятность равновозможных событий Вариант 1
Вариант 2
2. Объясните, равновероятны ли следующие события:
Геометрические вероятности Вариант 1 На рисунке 5 изображена мишень ABC, имеющая форму равностороннего треугольника; точки K, M и N – середины его сторон.
2) Перерисуйте мишень и заштрихуйте на своем рисунке такую область, что вероятность попадания в нее при случайном попадании в мишень равна  .Вариант 2 На рисунке 5 изображена мишень ABC, имеющая форму равностороннего треугольника; точки K, M и N – середины его сторон. 1) Стрелок, стрелявший в мишень не целясь, попал в нее. Какова вероятность, что он попал в четырехугольник KMBN? в треугольник BMN? 2) Перерисуйте мишень и заштрихуйте на своем рисунке такую область, что вероятность попадания в нее при случайном попадании в мишень равна  . Рис. 5 |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Цель урока: закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала по темам: «Статистические характеристики величин»,... | | Задача состоит в том, чтобы на основе наблюдений в экспериментальные значения z вынести наилучшие решения. Такие решения называются... |
| Составление характеристики воспитанников группы и социальной характеристики семьи |  | Тезисы докладов 3-й Международной научно-практической конференции студентов и аспирантов «Статистические методы анализа экономики... |
| ... | | Приложение. Статистические показатели по работе с молодёжью в публичных библиотеках Республики Коми в 2010 году |
| Персональные статистические экспертные системы для организаций красноярского края | | «Статистические методы исследования юридически значимой информации» является освоение закономерностей сбора, обработки, оценки и... |
| | Дубина И. Н. Математико-статистические методы в эмпирических социально-экономических исследованиях. ФиС: инфра-м, 2010. 416с |
