Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика»






Скачать 425.07 Kb.
НазваниеМетодические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика»
Дата публикации29.10.2013
Размер425.07 Kb.
ТипМетодические указания
top-bal.ru > Экономика > Методические указания


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Российский государственный торгово-экономический университет

Уфимский институт (филиал)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

по дисциплине Линейная алгебра

для студентов заочной формы обучения

направления 080100.62 «Экономика»

по профилям «Бухгалтерский учет,анализ и аудит»,

«Финансы и кредит»

Уфа-2012

Бикбулатова Г.С. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения.- Уфа: УИ РГТЭУ, 2012.-25с.
В методических указаниях приведены необходимые теоретические сведения, графические иллюстрации, примеры решения типовых задач, задания для контрольных работ, список рекомендуемой литературы. Методические указания могут быть рекомендованы студентам заочной формы обучения.
Ответственный редактор: д.э.н., проф. Муфтиев Г.Г.
Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. кафедры «Вычислительная математика» ФГБОУ ВПО Башкирский государственный университет Морозкин Н.Д.;

д.т.н., проф. кафедры «Информационные технологии» Уфимского института ФГБОУ ВПО Российский государственный торгово-экономический университет Галиаскаров Ф.М.




© Бикбулатова Г.С.

© Уфимский институт ФГБОУ ВПО РГТЭУ, 2012 г.

Содержание
Введение 41. Определители и системы линйных уравнений42. n-мерные линейные пространства143. Элементы векторной алгебры15Примеры решения задач18Задания для контрольных работ20Литература25

Введение
По каждой теме дано краткое изложение основных теоретических сведений, приведены примеры решения типовых задач. Предложенные в конце методических указаний задания могут быть использованы как для самостоятельных упражнений, так и для контрольных работ, рассчитанных на 20 вариантов.

Каждому студенту при поступлении присваивается учебный шифр (указанные в студенческом билете и зачётной книжке две последние цифры). Номер варианта определятся по целому остатку от деления шифра на 20. Если остаток равен 0, следовательно номер варианта 20. Например, если шифр 15, то номер варианта 15, если шифр 25, то номер варианта 5.

Решение задач необходимо приводить в той же последовательности, в которой представлены контрольные задания. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.

Контрольная работа должна быть выполнена в тетради, на обложке которой студент обязан разборчиво написать свою фамилию, инициалы, специальность, шифр.
^ I. Определители и системы линейных уравнений.

Линейным уравнением относительно неизвестных , ,…, называют выражение вида , где аi и b – числа. (1.1)

Последовательность n чисел , ,…, называют решением линейного уравнения с n неизвестным , ,…, , если после подстановки , ,…, в данное уравнение, оно превращается в верное числовое соотношение.

Пример: Уравнение имеет решение , , , , т.к. после подстановки этих значений в уравнение получаем: , т.е. числовое соотношение верно. Последовательность чисел 3, 2, 0, 1 не является решением данного уравнения, т.к. после подстановки , , , , получим , а это неверно, т.к. левая часть этого соотношения равна 13.

Линейное уравнение , где не имеет решений. Оно называется противоречивым.

Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных , ,…, называют системой линейных уравнений. Если пронумеровать уравнения, то вся система запишется в следующем виде:

(1.2)

где - коэффициент при неизвестном из i-го уравнения, - свободный член i-го уравнения системы, . В обозначении i- номер строки, j– номер столбца.

Числа называются коэффициентами, а - свободными членами системы.

Если , то система (1.2) называется однородной.

Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов при неизвестных системы (1.2), имеющая n строк и m столбцов:

(1.3)
Пример: Матрица системы уравнений имеет вид: . Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк, равное числу столбцов – порядком квадратной матрицы. Множество всех элементов квадратной матрицы, которые лежат на отрезке, соединяющем левый верхний угол с правым нижним (т.е. элементы в (1.3)), называется главной диагональю , а на отрезке, соединяющем правый верхний угол с левым нижним – побочной диагональю.

Матрица В системы (1.2), полученная из А (1.3) добавлением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы (1.2):

(1.4)

Пример: Расширенная матрица предыдущего примера имеет вид: .

Квадратная матрица Е называется единичной матрицей n-го порядка, если все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные – нули.

Матрица называется верхней треугольной, если элементы ее главной диагонали – единицы, под главной диагональю – нули, а над главной диагональю – некоторые числа.

Матрицы равны, если все их элементы совпадают.

Суммой двух матриц размера и размера называется матрица размера с элементами:

(1.5)

Пример: .

Произведением матрицы на число называется матрица , того же размера с элементами:

(1.6)

Пример: .

Произведением двух матриц размера и размера называется матрица размера с элементами:

(1.7)

(т.е. сумма произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.)

Примечание: произведение 2-х матриц определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пример: ; . Найти АВ.

Матрица АВ является матрицей размера 3 2. Вычислим элементы матрицы АВ. Имеем:













Итак, .

Свойства умножения матриц:

1. , где k – число.

2. .

3. .

4. .

Произведение матриц зависит от порядка множителей. Если , , то . Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА.

Матрица называется транспонированной к квадратной матрице А, если она получена путем замены каждой строки матрицы А на ее столбец с тем же номером, т.е.

(1.8)

Пример: . Значит .

Матрица, состоящая изодного столбца, называется вектор-столбец. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой.

Пример: Даны матрица А и векторы х и у: , , .

Вычислим координаты векторов Ах и уА:

, .

Рассмотрим систему линейных уравнений (1.2) и введем следующие обозначения: А= , ,

Матрицу А называют матрицей системы линейных уравнений, х - вектор-столбец неизвестных, b - вектор-столбец свободных членов.

Систему (1.2) можно записать в матричном виде

Ах = b (1.9)

Определителем (детерминантом) n-го порядка, составленным из элементов квадратной матрицы матрицы (1.3) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы. Знаки в каждом таком произведении (члене определителя) определяются определенным способом.

(1.10)

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из (1.10) путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется произведение минора на , т.е. .

Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по элементам i-й строки) и

(разложение по элементам k-го столбца).

Определитель второго порядка: .

Свойства определителей:

  1. Определитель квадратной матрицы не изменит значения при транспонировании.

  2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

  3. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя, т.е. .

  4. Если все элементы i-й строки квадратной матрицы n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых , , то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, у которых все строки, кроме i-й такие же, как и в данной матрице. i-ая строка у одной из матриц состоит из элементов , а другой – из элементов , т.е.: .

Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.

  1. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

  2. Определитель матрицы не изменится, если к i-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ее j-ю строку (столбец), умноженную на число.

Если в матрице n-го порядка имеется строка (столбец), все элементы которой равны нулю, кроме одного, то вычисление определителя матрицы n-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы порядка (n-1)

Пример: вычислить определитель матрицы А: .
Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей – вторую, умноженную на –3, а к четвертой – вторую, умноженную на –2, имеем: .

Получен определитель третьего порядка, который можно свести к вычислению определителя матрицы 2-го порядка.



Итак, .

Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице А (det ), если .

Элементы обратной матрицы вычисляются по формулам:

(1.11)

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А, а - ее определитель. Или, что тоже самое:

(1.12)

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Элементарные преобразования матрицы:

  1. перестановка строк (столбцов);

  2. умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число;

  3. сложение строк (столбцов).

Рангом r матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Матрицы, переходящие друг в друга путем элементарных преобразований, называются эквивалентными.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду: , где на главной диагонали стоит r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Такая матрица называется канонической, ее ранг равен r и совпадает с рангом исходной матрицы.

Рассмотрим систему (1.2). Решением этой системы называется совокупность m значений неизвестных , ,… , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, система не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Критерий совместности системы: Для совместности системы (1.2) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы (1.4) был равен рангу матрицы коэффициентов (1.3).

Если ранг матриц (1.3) и (1.4) совпадает с числом неизвестных системы m, тогда система (1.2) имеет единственое решение и называется определенной.

Если r < m, то первые r строк матрицы (3) линейно независимы, а остальные n-r строк являются их линейной комбинацией. Поэтому достаточно решить первые r уравнений – их решения будут удовлетворять и остальным. «Свободным неизвестным» , ,… можно придавать любые значения, получая при этом соответствующие значения , ,… из системы (1.2). Таким образом, система имеет бесконечное число решений и называется неопределенной. Если же ранг расширенной (1.4) больше r, то система несовместна.

Однородная система всегда совместна, так как имеет, например, нулевое решение: . Для того, чтобы однородная система размера имела ненулевое решение, необходимое и достаточное, чтобы detA = 0.

Пусть и - два различных решения однородной системы. Тогда их линейная комбинация: тоже является решением.

Метод Крамера: Если определитель системы (1.2) не равен нулю, то система имеет единственное решение:

, ,…, , (1.13)

где - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

Метод Крамера применим только для систем с квадратными матрицами.

Метод обратной матрицы

Систему (1.2) можно записать в матричном виде: , см. (1.9). Тогда ее решение имеет вид: , если .

Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестным (1.2).

Если определитель этой системы не равен нулю, то система имеет единственное решение (совместна); если определитель этой системы равен нулю, то данная или не имеет решения (несовместна) или имеет бесконечное множество решений (неопределенна).

Две системы уравнения называют эквивалентными, если они имеют одни и те же решения.

Метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных):

  1. Система (1.2) записывается в виде расширенной матрицы (1.4).

  2. Прямой ход. При помощи эквивалентных преобразований матрица (1.4) приводится к верхнему треугольному виду:



  1. Обратный ход. Для определения неизвестных , ,…, рассмотрим систему приведенных уравнений. Начиная с нижней строки, последовательно находим неизвестные.

Пример: Решим систему уравнений методом Гаусса: .

1.Запишем систему в виде расширенной матрицы: .

2.Делим первую строку на 2: .

Первую строку умножаем на –1, преобразованная вторая строка будет результатом вычитания первой из второй. Затем первую строку умножаем на 1 и вычитаем из третьей: . Делим вторую строку на 2: . Первую и вторую строки оставляем без изменения, а ктретьей строке прибавляем вторую, умноженную на 1: . Делим последнюю строку на : . Итак, прямой ход закончен, и исходная система уравнений приняла вид: .

3. Из последнего уравнения находим . Подставим найденное значение во второе уравнение: . Подставив значения и в первое уравнение, получаем: .

система имеет единственное решение: , , .

Методом Гаусса можно не только решить совместную систему, но и установить, является ли исходная система совместной.

Пример:

Запишем расширенную матрицу системы уравнений:

Делим элементы первой строки на –2, элементы второй строки на 4, элементы третьей строки на 2 (преобразования проводим, пользуясь свойствами матриц):

Вторую строку умножаем на –1 и складываем с первой. Третью строку умножаем на –1 и складываем с первой:

Делим элементы второй и третьей строк на –1:



в третьей строке мы получили противоречие, так как приведенное последнее уравнение имеет вид: , т.е. 0=1 чего не может быть. Следовательно, исходная система решений не имеет.

Методом Гаусса можно решить не только квадратную систему уравнений, но и любую прямоугольную.

Пример: Решить систему линейных уравнений



Решение: Преобразуем систему методом Гаусса:



После вычитания третьего уравнения из второго из трех уравнений остается два, так как третье уравнение принимает вид и будет удалено из системы. В данном случае ранг системы , а число неизвестных , т.е. . Из трех уравнений первоначально данной системы только два независимы . Система приведена к верхнему треугольному виду. Прямой ход метода Гаусса закончен. Исключая теперь с помощью второго уравнения из первого уравнения, приведем систему к виду



откуда легко находим общее решение: Неизвестные - базисные, - свободное. Придавая неизвестному произвольные числовые значения, можно получить множество частных решений: и т.д.
^ II. n-мерные линейные пространства.

Последовательность n действительных чисел называют n-мерной точкой М (2.1), а сами числа - координатами точки М.

Множество всех n-мерных точек составляет n-мерное пространство .

Например, М (1;2;-1;1) и N (2;3;-4;6) – точки четырехмерного пространства , т.е. и .

Расстоянием между точками М ( ) и N ( ) называют число

Например, .

Если даны две точки (2.1) в пространстве , то можно рассмотреть вектор

:

При этом длина вектора совпадает с расстоянием , т.е. .

Вектор , где 0(0,0,…,0) называют радиус-вектором точки М.

n-мерное пространство называется линейным или векторным пространством, если для любых двух его элементов, например, х и у, определена сумма и для каждого элемента и каждого числа определено произведение , так, что выполнены следующие условия:

  1. х + у = у + х, для всех .

  2. , для всех .

  3. Существует такой нулевой элемент , что х + 0 = х, для всех .

  4. Для каждого существует противоположный элемент –х, что .

  5. , для всех .

  6. Для любых чисел и и всех справедливы равенства , , .

Векторы линейного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . Все остальные векторы называются линейно независимыми.

Примечание: линейное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейных независимых векторов, оно не содержит.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется его базисом.

Говорят, что в линейном пространстве R задано преобразование А, если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор А(х) (или Ах). Преобразование А называется линейным, если для любых двух векторов х и у из R и произвольного числа :

1. .

2. .

Вектор Ах называется образом вектора х.

Если в векторном пространстве задан базис, то каждому линейному преобразованию отвечает определенная квадратная матрица порядка n и, обратно, каждой такой матрице отвечает определенное линейное преобразование.

Вектор-столбец , называется собственным вектором линейного преобразования А, если найдется такое число , что или , где 0 – нулевой вектор-столбец.

Число называется соответствующим вектору х собственным значением преобразования А (матрицы А).

При условии, что , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений :

или =0.

Таким образом, каждое собственное значение преобразования А является корнем его характеристического уравнения.

Собственные векторы , соответствующие собственному значению , являются решением системы уравнений:

.

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя.
^ III. Элементы векторной алгебры

Если вектором называется любая величина, обладающая направлением (скорость, сила и т.д.), то скаляром называется величина, не обладающая направлением (температура, объем и т.д.). (В технических Вузах обычно рассматривается теория свободных векторов, т.е. векторов, которые можно перемещать по линии действия или параллельно самим себе в любую точку пространства.)

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же), называются коллинеарными.

Основные векторы получаются путем откладывания в положительном направлении на координатных осях направленных отрезков ОА, ОВ, ОС, равных единице масштаба. Эти векторы называются единичными ортами и обозначаются , , .
Длина вектора – расстояние d между двумя точками и :

(3.1)

Угол между осью координат и вектором , где x,y,z – коэффициенты, равные разности координат точек конца и начала векторов:

С осью ОХ: ,

С осью OY: ,

С осью ОZ: .

Эти косинусы называются направляющими.

Если два вектора и коллинеарны, то , - и равнонаправлены, - противоположно направлены.

Скалярным произведением 2-х векторов и называется число, определяемое равенством:

(3.2)

где - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. ,

2. , если , или , или (ортогональность ненулевых векторов),

3. (переместительный закон),

4. (распределительный закон),

5. .

Скалярные произведния ортов осей координат:

, .

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , длина которого равна произведению длин векторов–сомножителей на синус угла между ними и направленный перпендикулярно векторам и так, что векторы , , образуют правую тройку:

(3.3)

Величина равна площади S параллелограмма, построенного на векторах и (геометрическая интерпретация векторного произведения).

Свойства векторного произведения:

1. ,

2. , если , или , или (коллинеарность ненулевых векторов),

3. ,

4. (распределительный закон).

Векторные произведения координатных ортов:

, , , .

Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. .

Смешанное произведение 3-х векторов , , есть число, равное

(3.4)

Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение трех векторов равно 0, если

а) хоть один из векторов равен нулю,

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны,

в) три ненулевых вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарность),

2. Смешанное произведение не изменится, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. = . В силу этого свойства смешанное произведение можно записывать в виде .

3. Смешанное произведение не изменится, если преставлять премножаемые вектора в круговом порядке:

= = .

  1. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак:

=- , =- , =- .

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах находится по формуле .

^ Примеры решения задач

Пример 1: Дана система линейных уравнений: .

1.Найти ее решение при помощи формул Крамера;

2.Записать систему в матричной форме и решить ее методом обратной матрицы.

Решение:

1) Вычислим определитель матрицы коэффициентов системы, раскрыв его по первой строке:

. Так как определитель не равен нулю, то решение можно найти по формулам Крамера. Для этого вычислим , раскрыв его по первой строке:



Согласно формулам (1.13) получаем:

; ; .

2) Найдем решение этой системы при помощи обратной матрицы:

Здесь , , .

Так как определитель матрицы А равен 23, то обратная матрица существует и ее элементы находятся по формулам (1.11) или (1.12).

Найдем алгебраические дополнения у этой матрицы:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Обратная матрица имеет вид: .

Решение системы матричным методом в силу формулы (1.9) примет вид:

.

Таким образом, , , .

Пример 2: Методом Гаусса решить однородную систему уравнений и найти ее фундаментальную систему решений:

.

Примечание: Линейно независимая система решения однородной системы уравнений называется фундаментальной, если каждое решение этой системы является линейной комбинацией её решений.

Решение: Выпишем расширенную матрицу системы, при этом нулевой столбец можно не писать. После элементарных преобразований (аналогичные преобразования подробно описаны ранее). Получаем:

~ ~ ,

т.е. заданная система равносильна следующей: .

Ранг этой системы r равен 3, следовательно, 3 неизвестных можно выразить через остальные две, например, так:



где и – свободные переменные.

Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным придавать любые значения: , (тогда , , ) и значения , (тогда , , ). Это дает фундаментальную систему решений: . Общим решением будет: , где , - произвольные числа.

Пример 3: Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования А с матрицей .

Решение: Характеристическое уравнение (характеристический многочлен) преобразования А ищем по формулам (2.4):

.

По формуле (2.4): . Корни этого уравнения и являются собственными значениями линейного преобразования.

Собственные векторы находятся из двух систем уравнений

, (i =1,2) каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению:

При : или , из которого находим и в качестве собственного вектора, соответствующего , можно взять (или любой вектор, кратный ).

При имеем: , из которого находим: , и соответствующий собственный вектор (или любой вектор, кратный ему).

Пример 4. По координатам вершин пирамиды , , , найти: 1) длины ребер и , 2) угол между этими ребрами, 3) площадь грани , 4) объем пирамиды.

Решение. 1. Найдем координаты векторов , . Длины векторов , .

2. , то есть .

3. , кв.ед.

4. куб. ед.
Задания для контрольных работ
1. Найти .

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18 ,

19. ,

20. ,




2. Дана система линейных уравнений. Требуется:

1.Определить, совместна ли она и в случае положительного ответа, определить количество ее решений.

2.В случае единственного решения найти его:

1) методом Гаусса;

2) методом Крамера;

3) методом обратной матрицы.

1 2 3

4 5 6 7 8 9

10 11 12

13 14 15

16 17 18 19 20
3.Методом Гаусса найти общее и базисные решения систем уравнений:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.


5. По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и , 2) угол между этими ребрами, 3) площадь грани , 4) объем пирамиды.

1. , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , , , .

5. , , , .

6. , , , .

7. , , , .

8. , , , .

9. , , , .

10. , , , .

11. , , , .

12. , , , .

13. , , , .

14. , , , .

15. , , , .

16. , , , .

17. , , , .

18. , , , .

19. , , , .

20. , , , .

Литература:


  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 т. М.: Высш. шк., 1986.

  2. Шипачев В.С. Высшая математика. –М.: Высш. шк., 2000. -479с.

  3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. –М.: высш. шк., 1998.-304с.




Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине «Экономика организации»
Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономика организации» для студентов заочной...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольных...
Методические указания и задания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Макроэкономика»

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания по английскому языку...
Методические указания и контрольные задания по английскому языку для студентов заочной формы обучения всех специальностей /Сост....

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания по английскому языку...
Методические указания и контрольные задания по английскому языку для студентов заочной формы обучения всех специальностей /Сост....

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания к выполнению контрольных заданий и контрольные...
Методические указания к выполнению контрольных заданий и контрольные задания по дисциплине «Прикладная механика» (тмм и дм и ок)...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания к выполнению индивидуальных заданий для студентов...
Линейная модель множественной регрессии: спецификация модели, отбор факторов, включаемых в модель множественной регрессии, фиктивные...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» icon«Теория вероятностей» Методические указания и контрольные задания...
Теория вероятностей: Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения / Авт сост

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Методическое пособие предназначено для студентов заочной формы обучения на базе основного общего образования (9 классов ) по дисциплине...

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная алгебра для студентов заочной формы обучения направления 080100. 62 «Экономика» iconМетодические указания и контрольные задания для студентов заочной...
Данная методическая разработка составлена для студентов специальности 080110 «Экономика и бухучет (по отраслям)» заочного и очного...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск