Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка






Скачать 96.36 Kb.
НазваниеРешение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка
Дата публикации19.12.2013
Размер96.36 Kb.
ТипРешение
top-bal.ru > Математика > Решение
Тема 4

Дифференциальные эллиптические уравнения второго порядка. Слабое решение Обобщенное решение задачи Дирихле
Оператор Лапласа, который мы рассматривали в предыдущей теме,

можно записать так:



А если обозначить x=x1, y=x2, то так:

.

Обозначим через D прямоугольник, определенный неравенствами 0x1a, 0x2b (Рис. 4.1).

В этом прямоугольнике рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка

(1)



Рис. 4.1
Для простоты предположим, что функция f бесконечно дифференцируемая.

Пусть (x1, x2) — бесконечно дифференцируемая функция, которая обращается в нуль

в некоторой окрестности границы прямоугольника D. Умножим обе части уравнения (1)

на функцию (x1, x2) и проинтегрируем по прямоугольнику D:


Вычислим сначала, применяя формулу интегрирования по частям, интеграл



Поскольку функция  обращается в нуль на границе области D, в правой части этого равенства под знаком внешнего интеграла пропадет первое слагаемое. Аналогично получим, что



Итак, мы показали, что

(2)

если =0 в окрестности границы прямоугольника D.

Формула (2) сохраняется, если D — любая ограниченная область на плоскости Ox1x2

с «хорошей» границей.

Если функция  не обращается в нуль на границе области D, то при интегрировании по частям сохраняются слагаемые по границе D области D и справедлива формула Грина



где d — элемент длины дуги этой границы, а производная по внешней нормали к D.

Рассмотрим вместо уравнения (1) с постоянными коэффициентами

уравнение с переменными коэффициентами

(3) Будем считать, что Имеем



Следовательно, в уравнение (3) входят частные производные функции u(x1, x2) первого и второго порядков, коэффициенты и их производные. Значит, для того чтобы функция u(x1, x2) была бы решением уравнения (3) в обычном смысле (то есть если рассматривать его классическое решение ), надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка.
Дадим определение эллиптического дифференциального уравнения.

Пусть уравнение (3) рассматривается в некоторой ограниченной области D на плоскости

Oxy (в других обозначениях Ox1x2). Выделим в левой части уравнения (3) слагаемые, содержащие только производные второго порядка от функции u(x1, x2):



Формально составим многочлен



Будем рассматривать только такие уравнения (3), что для любой фиксированной точки

(x1, x2)D этот многочлен положителен при любых значениях 1, 2 , .

Уравнение (3), для которого указанное свойство выполнено, называется эллиптическим уравнением в области D.

Подробная классификация дифференциальных уравнений второго порядка (эллиптических, гиперболических, параболических) будет дана в теме 7.

По этому определению уравнение u=f, рассмотренное ранее, является эллиптическим.

Действительно, заменим в на 11=, а на 22 и рассмотрим многочлен второй степени по 1, 2 : Этот многочлен отличен от нуля при любых значениях 1, 2 , ||0.

Для уравнения (3) справедлива формула, аналогичная формуле (2), которую мы получили

в случае уравнения u=f:

(4)

если функция (x1, x2) обращается в нуль на границе области D.

Покажем, что если функция u(x1, x2) имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков, а функция (x1, x2) бесконечно дифференцируемая и обращается в нуль в окрестности границы области D, то из справедливости тождества (2) следует, что u(x1, x2) удовлетворяет уравнению (1). Если в некоторой точке М0D то в силу непрерывности левой и правой частей этого неравенства оно сохранится и в некоторой окрестности  точки М0. Пусть функция (x) такова, что она отлична от нуля в области  и обращается в нуль вне этой области. Для такой функции  тождество (2) не выполняется, что противоречит условию. Точно так же при достаточно «хороших» u(x1, x2), aij и (x1, x2) из (4) следует (3). Таким образом, сказать, что функция u(x1, x2) удовлетворяет уравнению (3) или, что u(x1, x2) удовлетворяет тождеству (4) – одно и то же. Этот факт ляжет в основу определения слабого (уже не классического) решения эллиптического уравнения (3).
Заметим, что интегральное тождество (4) имеет преимущество перед уравнением (3):

в (4) коэффициенты аij входят непосредственно, без своих производных, а от функции u(x1, x2) в (4) входят только частные производные первого ( не второго) порядка. Более слабые, чем для справедливости (3), требования на коэффициенты и функцию u(x1, x2)

больше соответствуют смыслу задач прикладного характера, приводящих к эллиптическим дифференциальным уравнениям второго порядка. Поясним это на примере.
Пусть пластина D неравномерно нагрета с температурой u(x1, x2, t) в точке (x1, x2) в момент времени t. Пусть часть границы D этой пластины подогревается. Если температурный процесс установился во времени, то температура уже не меняется во времени, а меняется только от точки к точке, то есть u=u(x1, x2). Пусть к — коэффициент теплопроводности. Предположим, что этот коэффициент зависит от точки (x1, x2),

но не зависит от направления. В этом случае говорят, что пластина D изотропна. Можно показать, что температура u(x1, x2) удовлетворяет уравнению

(5)

если функция k имеет частные производные первого порядка, а функция u имеет частные производные второго порядка.

Имеем:
Можно ли считать в такой физической задаче, что всюду в D коэффициент теплопроводности k и функция u обладают указанным количеством производных? Сейчас мы покажем, что не всегда. Конкретизируем задачу. Пусть пластина (область) D разбита на две подобласти D1и D2 гладкой кривой . Пусть коэффициент теплопроводности постоянен в каждой из этих подобластей и равен постоянной k1 в D1 и постоянной k2 в D2, причем k1k2 (то есть коэффициент теплопроводности испытывает разрыв на ).

Поскольку k1 — постоянная, уравнение (5) в области D1 превращается в уравнение Лапласа u=0. То же– и в области D2. Из физических соображений на  1) температура u(x1, x2) является функцией непрерывной; 2) выполняется условие теплового баланса: если u=u1 в D1, u=u2 в D2, то где n — нормаль к .

Поскольку по условию k1k2, из 2) следует, что так что производные функции u(x1, x2) испытывают разрыв на . Поэтому функция u(x1, x2) не может быть классическим решением уравнения (5) в области D.

Покажем, что эта функция удовлетворяет интегральному тождеству (4).

Для бесконечно дифференцируемой в области D функции  имеем:



Применим формулу Грина:

получим



Применим условие теплового баланса на  и получим интегральное тождество



Для его выполнения не требуется существования у коэффициента теплопроводности

k (x1, x2) производных, а функция u(x1, x2) может иметь только производные первого порядка.

Итак, в рассмотренной задаче температура u(x1, x2) не является классическим решением дифференциального уравнения второго порядка, но эта функция удовлетворяет интегральному тождеству. Назовём u(x1, x2) слабым решением уравнения (5).

Само уравнение (5) при этом является лишь символической записью.

Чтобы строго определить слабое решение уравнения (3) , а затем обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения (3), надо описать класс функций u(x1, x2), в котором мы будем определять эти решения.
^ Пространства функций

Понятие слабого решения дифференциального

уравнения. Обобщенное решение краевой задачи.
Будем писать x=(x1, x2). Введем пространство функций .

Скажем, что функция (x) принадлежит пространству C1(), если в области (x) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка.

Положим


Число называется нормой функции u(x) в пространстве функций

Рассмотрим в множество бесконечно дифференцируемых функций, обозначим это множество

Рассмотрим множество функций v(x), каждая из которых является предельной для последовательности {un} функций причем предел понимается в том смысле,

что при . Присоединим к множеству функций множество функций v(x). Полученное множество называется замыканием пространства по указанной норме; это замыкание назовем соболевским пространством (или пространством Соболева).

Теперь рассмотрим в D множество бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль на границе D. Обозначим это множество Пусть {vn} — бесконечная последовательность функций из Рассмотрим функцию v(x), для которой при

Замкнем пространство по рассматриваемой норме указанным выше способом. Полученное пространство обозначим

Имеет место вложение .

Рассмотрим в области D дифференциальное уравнение второго

порядка (3):



Запишем тождество (4) :



где функция (x) 

^ Слабым решением эллиптического уравнения (3) в области D называется функция u(x) из пространства удовлетворяющая интегральному тождеству (4) при любой функции
^ Обобщенным решением первой краевой задачи


для эллиптического уравнения (3) называется слабое решение этого уравнения, принадлежащее пространству функций
Помимо литературы, указанной в теме1, см.
Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М., Наука, 1966.

Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.

Сибирское отделение АН СССР, 1962.

Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М., Наука, 1971.

^ Грин Джордж(1793-1841) — английский математик. В 1828г. выпустил труд «Опыты применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма», положив начало методам, которые мы теперь относим к разделу математической физики. Наряду с немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом создал основы теории потенциала. Именно Грином впервые применен сам термин «потенциал». Он учился сначала самостоятельно, а в 1833г. поступил в Колледж Кембриджского университета. В это время он публикует труды, которые явились развитием и теоретическим применением «Опытов». К числу его лучших работ принадлежит трактат «Об отражении и применении звука».
^ Соболев Сергей Львович(1908-1989) — русский математик. Один из крупнейших математиков XX века, внесший основополагающий вклад в современную науку.

С 1934 года С. Л. Соболев заведовал отделом дифференциальных уравнений с частными производными в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР

В 1933 году С. Л. Соболев был избран членом-корреспондентом, а в 1939 году – действительным членом АН СССР по Отделению математических и естественных наук (математика). В 1940-х годах С. Л. Соболев развивал направление функционального анализа и вычислительной математики для решения задач математической физики. Им была написана монография «Уравнения математической физики».

Главная книга его жизни — «Некоторые применения функционального анализа в математической физике», в которой он подробно изложил теорию пространств функций с обобщенными производными, вошедшими в науку как пространства Соболева (соболевские

пространства). С 1957 по 1983 гг. С. Л. Соболев возглавлял созданный им Институт математики Сибирского отделения АН СССР (Новосибирск).

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconВопросы к экзамену по математике ЭиЭс (2 семестр)
Функции нескольких переменных. Частные производные 1-го порядка, их физический смысл

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconПо теме: «Дифференциальные уравнения» иметодические рекомендации...
Дифференциальные уравнения первого порядка и второго порядка, допускающие понижение порядка

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка icon“Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4 порядка”
Коши, когда дополнительно к уравнению (1) задают значения функции и ее производных до -го порядка в некоторой точке. Эти дополнительные...

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconРасчет переходных процессов в линейной электрической цепи второго порядка
Во всех вариантах исследуемая цепь имеет порядок сложности 2, т е описывается дифференциальным уравнением второго порядка и содержит...

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка icon1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента X называется соотношение вида

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconВ виде кредита с аннуитетными платежами
Аб "Таатта" зао кредит, по поводу порядка предоставления, использования и возврата(погашения) кредита, уплаты процентов за пользование...

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconПрограмма для подготовки к экзамену
Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconПрограмма для подготовки к экзамену
Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconПрограмма для подготовки к экзамену
Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства

Решение, надо, чтобы эта функция обладала непрерывными частными производными до второго порядка включительно, а коэффициенты имели непрерывные частные производные первого порядка iconПрограмма для подготовки к экзамену
Линии второго порядка на плоскости. Окружность и эллипс. Определения, уравнения, основные свойства



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск