«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа






Скачать 171.48 Kb.
Название«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа
Дата публикации17.10.2013
Размер171.48 Kb.
ТипРешение
top-bal.ru > Математика > Решение
ЛИПЕЦКИЙ ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С. ЗАВАЛЬНОЕ

Из опыта подготовки учащихся к ЕГЭ.

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на ЕГЭ»
Выпускная квалификационная работа.

Выполнила учитель

Нартова Н.Е.
Усмань-2008

Оглавление.




Введение………………………………………………………….

3




Основная теоретическая часть …………………………………

4




Решение заданий с кратким ответом…………………………...

5




Задания с кратким ответом для самостоятельного решения….

11




Ответы к заданиям для самостоятельного решения ………….

14




Заключение………………………………………………………

15




Литература………………………………………………………..

16


Введение.

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике проводится с целью проверки усвоения школьного материала курса «Алгебра и начала анализа» за 10 и 11 классы (аттестационная составляющая экзамена), а также для оценки подготовленности выпускника к обучению в вузе (добавляется проверка усвоения материала курса математики 5-6 классов, алгебры 7-9 классов и геометрии 7-11 классов).

Поэтому при подготовке к ЕГЭ необходимо повторить весь школьный материал по математике.

Задания с прогрессиями на ЕГЭ предлагаются во второй и иногда третьей части. Часть В содержит задания более высокого уровня сложности. Эти задания предполагают отсутствие готовых ответов. Ответом является одно целое число или десятичная дробь. Как правило, решение заданий части В немного длиннее, чем заданий с выбором ответа и состоит не менее, чем из четырёх шагов. Задачи на прогрессию встречаются в заданиях В, где надо проявить умение решать текстовую задачу, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации. При создании математической модели необходимо текст, описывающий предлагаемую ситуацию, перевести в переменные, формулы, уравнения и неравенства.

Арифметическая и геометрическая прогрессии изучаются в 9 классе. Основная цель – дать понятия об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого типа.

Арифметическая и геометрическая прогрессии рассматриваются как частные виды последовательностей. В начале изучения темы разъясняется смысл понятий «последовательность», «n-й член последовательности», вырабатывается умение использовать индексные обозначения. Эти сведения используются при введении понятий арифметической и геометрической прогрессий, выводе формул n-го члена и суммы n членов для каждой из прогрессий. При изучении темы можно ограничиться только одной формулой для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии, а именно S=. Аналогично для геометрической S прогрессии достаточно рассмотреть одну формулу суммы n первых членов .

При выполнении упражнений основное внимание уделяется заданиям, связанным с непосредственным применением изучаемых формул, а также задачам практического содержания. Сведения о бесконечно убывающей геометрической прогрессии не являются обязательными для изучения».

В 10 и 11 классах этот материал, конечно, повторялся, но в заключительном повторении прогрессиям нужно уделить должное внимание. При подготовке к ЕГЭ с учащимися 11 класса необходимо повторить и обобщить знания по теме «Прогрессии», т.к. в задании В эта тема встречается примерно так же часто, как и тема «Проценты», кроме того, знания по этой теме могут пригодиться и в заданиях С.


  1. ^ Основная теоретическая часть.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

(a) – арифметическая прогрессия,

a = a+ d, где d – некоторое число, которое называют разностью арифметической прогрессии.

a= a+d(n – 1) – это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы суммы n первых членов:



(1)



(2)


Для каждого члена арифметической прогрессии выполняется равенство:

a. Отсюда она и получила своё название.
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

(b) – геометрическая прогрессия.

b и b, где q – некоторое число, которое называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что . Таким образом, .

- это формула n-го члена геометрической прогрессии.
Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии

,

(3)

,

(4)

Для каждого члена геометрической прогрессии справедливо равенство:

. Отсюда геометрическая прогрессия и получила своё название.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при < 1.

,

(5)

,

(6)


2. Решение заданий с кратким ответом.

Пример 1. Седьмой член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых девятнадцати членов равна 475. найдите сумму пятого, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

Решение. Для решения этой задачи (как и для большинства других) требуется знание формул n-го члена арифметической прогрессии и суммы n первых членов:

и

Посмотрим на условие нашей задачи. Из условия имеем



Таким образом, требуется решить систему уравнений



Отсюда искомая сумма

Ответ: 89.
Пример 2. Разность арифметической прогрессии является отрицательным числом. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии, если сумма третьего и седьмого членов равна 18, а их произведение равно 45.

Решение. Из условия задачи следует, что d < 0,

Если считать и корнями квадратного уравнения, то их сумма равна 18, а произведение равно 45. По теореме обратной теореме Виета, находим или наоборот, Первая пара соответствует положительному значению разности d, а вторая – отрицательному. Значит, пара удовлетворяет всем условиям задачи. Итак, имеем систему уравнений



Теперь можем найти требуемую сумму первых семи членов прогрессии. Получаем

Ответ: 84.

Пример 3. Найти сумму последних десяти членов арифметической прогрессии, у которой сумма первого и последнего членов равна нулю, первый член равен (-100), и разность прогрессии d = 4.

Решение. Из условия задачи понятно, что нужно применять формулы арифметической прогрессии. Необходимо выразить все данные задачи через первый член и разность арифметической прогрессии.

Из условия имеем: d = 4,

Требуется найти сумму последних десяти членов прогрессии. Найдём последний член прогрессии: Отсюда

Десятый член прогрессии, если считать в обратном порядке, начиная с есть

Поэтому сумму последних десяти членов данной прогрессии можно найти по формуле . Отсюда получаем:

Ответ: 820.
Пример 4. Найдите 117-е число из ряда натуральных чисел, больших 3 и делящихся на 3 с остатком 2.

Решение. Эта последовательность совпадает с членами арифметической прогрессии 5 + 8 + 11 + …, у которой первый член равен 5 и разность равна 3.



Ответ: 353.
Пример 5. Найдите сумму членов геометрической прогрессии, первый член которой знаменатель q = -3, а последний член 1458.

Решение. Из формулы п – го члена геометрической прогрессии находим п.

, откуда . Очевидно, что последний член должен быть нечётным (все нечётные члены больше нуля).

п – 1 =6 и п = 7.

Сумма 7 членов геометрической прогрессии равна

Ответ: 1094.

Пример 6. Произведение 1 – го и 15 – го членов геометрической прогрессии равно 289. Найдите 8- ой член прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

Решение. По формуле п – го члена геометрической прогрессии .

По условию имеем: так как все члены прогрессии положительны.

Ответ: 17.

Начиная с 2004 года, в части 2 некоторых вариантов ЕГЭ были задания на прогрессии, в которых термины «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия» не использовались. Это были не формализованные задания, в которых задаются некоторые соотношения, связывающие параметры арифметической или геометрической прогрессии, как в рассмотренных выше примерах, а задания, в которых нужно было «угадать» прогрессию.

Пример 7. Первоначальная цена товара на торгах повышалась несколько раз на одно и то же количество рублей. После третьего повышения цена равнялась 1200 рублям, а после двенадцатого повышения – 1650 рублям. Через сколько повышений первоначальная цена удвоилась?

Решение. В условии задачи ничего не говорится о прогрессиях. Задачу можно решить так. Пусть - первоначальная (стартовая) цена товара на торгах, и а – повышение цены товара за один раз. Пусть после первого повышения цена стала рублей, после второго повышения цена стала рублей и после третьего повышения цена стала равной х+3а рублям, что по условию равно 1200 рублям. То есть х+3а =1200. После двенадцатого повышения цена стала равной х+12а =1650.

Отсюда 9а =450 и а = 50.

Следовательно, (рублей). Теперь пусть число повышений равно п. Составим равенство: 1050 + 50п = 2100. Отсюда п =21.

Следовательно, цена товара удвоится через 21 повышение первоначальной цены.

Ответ: 21.

Пример 8. Найти натуральный корень уравнения

Решение. Прежде всего, отметим, что число членов в левой части равно

х – 1 (посчитав их, справа налево по числителям). Сумму удобнее считать,

опять-таки, записав члены прогрессии справа налево и вынеся за скобки общий множитель (тогда станет очевидным, что мы имеем арифметическую прогрессию с

, .

Сумма этой прогрессии равна ,

, причем .

Ответ: 15.

Пример 9. В равносторонний треугольник со стороной 8 сантиметров вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и так далее. Найдите периметр восьмого треугольника.

Решение. Периметры вписанных друг в друга треугольников образуют геометрическую прогрессию. Обозначим периметр первого треугольника

, . Стороны каждого следующего треугольника являются серединами сторон предыдущего, значит по теореме о средней линии треугольника они в два раза короче. Следовательно, знаменатель нашей прогрессии будет равен 0,5, то есть, . Обозначим периметр восьмого треугольника , тогда по формуле п – го члена геометрической прогрессии

.

Ответ: 0,1875.

Пример 10. Первоначальный вклад 400 рублей банк ежегодно увеличивает на 10%. Каким станет вклад через 4 года?

Решение. Для решения этой задачи можно использовать формулу сложных процентов , где - начальное число, п – количество циклов,

m – количество процентов.

Итак, , п = 4, m = 10. Значит, . Через 4 года вклад будет равен 585,64 рублям.

Ответ: 585,64.

Пример 11. Школьник заболеет гриппом, если в его клетки верхних дыхательных путей внедрилось не менее 10000 вирусов гриппа. Если заранее не сделана прививка от гриппа, то каждый час после попадания инфекции число попавших в верхние дыхательные пути вирусов удваивается. Лишь через 8 часов после заражения организм начинает вырабатывать антитела, прекращающие размножение вирусов. Найдите минимальное количество вирусов, при попадании которых в верхние дыхательные пути школьник, не прошедший прививку, заболеет.

Решение. Из условия задачи видно, что размножение вирусов происходит по геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 2, а первый член неизвестен. Обозначим первоначальное количество вирусов , тогда через 8 часов вирусов будет .

По условию задачи вирусов должно быть не менее 10000, то есть

, , .

Значит, минимальное количество вирусов, при попадании которых в верхние дыхательные пути, ученик заболеет, будет равно 40.

Ответ: 40.

Пример 12. Запишите обыкновенную дробь в виде десятичной бесконечной периодической дроби и найдите её повторяющуюся часть.

Решение. Самое простое решение этого примера – просто взять и разделить 25 на 13 уголком. Тогда мы получим число 2,272727… Отсюда повторяющаяся часть 27.

Ответ: 27.

Пример 13. Найдите сумму всех натуральных чисел, являющихся решениями неравенства < 0.

Решение. ОДЗ этого неравенства определяется из условия существования первых двух корней, то есть , а неравенство справедливо, если последний корень меньше нуля. Это выполняется при х < 8. Учитывая, что нам нужно считать только натуральные числа, получаем промежуток [1; 7].

Сумма целых чисел равна . Заметим, что в некоторых случаях не очень ленивые ученики могут посчитать необходимую сумму, не прибегая к свойствам арифметической прогрессии.
Ответ: 28.

Пример 14. Найдите наименьшее значение параметра b, при котором сумма всех чётных чисел из отрезка [4; b] равна 108.

Решение. Сумма чисел от 4 до b равна 4 + 6 + 8 +…+b = .

Отсюда из уравнения , находим n = 9 и . Это и есть наименьшее значение b.

Ответ: 20.
^ 3.Задания с кратким ответом для самостоятельного решения.

  1. В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна -14, а сумма первых девяти членов равна -45. Сколько отрицательных членов имеет эта прогрессия?

  2. В арифметической прогрессии разность тридцать первого и десятого членов составляет 42, а сумма первых пятнадцати членов равна -150. С какого номера начинаются положительные члены этой прогрессии?

  3. Сумма первых пятнадцати членов возрастающей арифметической прогрессии равна нулю, а произведение третьего и седьмого членов равно 20. С какого номера все члены данной прогрессии будут больше 15?

  4. Произведение второго и четвёртого членов геометрической прогрессии равно 81, а сумма трёх её первых членов равна 13. С какого номера все члены этой прогрессии будут больше 729?

  5. Произведение первого и третьего членов геометрической прогрессии равно , а произведение второго и пятого членов равно . Известно, что сумма п первых членов прогрессии равна . Найдите п.

  6. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а десятый равен 4. Найдите сумму первых шестнадцати членов данной прогрессии.

  7. Третий член арифметической прогрессии равен -6, сумма второго и пятого членов равна -9. Известно, что один из членов прогрессии равен 15. Найдите его номер.

  8. Второй член арифметической прогрессии равен -7, разность пятого и восьмого членов равна -6. Известно, что один из членов прогрессии равен 9. Найдите его номер.

  9. В арифметической прогрессии произведение второго и пятого членов равно 45, а сумма первых пяти членов равна 35. Найдите разность прогрессии, если известно, что она положительная.

  10. Сумма пяти первых членов арифметической прогрессии меньше суммы её последующих пяти членов на 50. На сколько десятый член прогрессии больше её второго члена?

  11. Сумма шести первых членов арифметической прогрессии меньше суммы её последующих шести членов на 144. На сколько двадцать пятый член прогрессии больше пятнадцатого члена?

  12. В арифметической прогрессии восемнадцать членов. Сумма членов, стоящих на чётных местах, равна 27, а сумма членов, стоящих на нечётных местах, равна 20. Найдите наибольший целый член данной прогрессии.

  13. Десятый член арифметической прогрессии равен -29, а сумма первых одиннадцати членов равна -187. Найдите сумму девятого, Одиннадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии.

  14. В треугольнике с основанием 16 см проведена средняя линия, параллельная основанию. В образовавшемся треугольнике таким же образом проведена средняя линия и так далее. Найдите среднюю линию пятого треугольника.

  15. Первым четырёхугольником является прямоугольник со сторонами 5 сантиметров и 12 сантиметров. Для того, чтобы получить второй четырёхугольник, соединили середины сторон первого четырёхугольника, для получения третьего четырёхугольника соединили середины сторон второго четырёхугольника и т. д. Укажите номер четырёхугольника, начиная с которого, их периметры будут меньше 2 миллиметров.

  16. Снижение себестоимости товара составляет 5% в год. Первоначальная себестоимость товара равна 800 рублей. Какой станет себестоимость товара через три года?

  17. В течение календарного года зарплата каждый месяц повышалась на одно и то же число рублей. За июнь, июль и август зарплата в сумме составила 9900 рублей, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 рублей. Найдите сумму зарплат за весь год.

  18. За десять дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 – в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и то же число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?

  19. При подготовке к экзамену ученик каждый день увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 3 мая по 6 мая включительно он решил 24 задачи, а с 5 мая по 10 мая – 72 задачи. Сколько задач ученик решил с 3 по 10 мая включительно?

  20. Решите уравнение на интервале (-1; 1): .

  21. При подготовке к экзамену ученик каждый день с 1 по 8 июня включительно увеличивал количество решённых задач на одно и то же число. С 1 июня по 4 июня включительно он решил 24 задачи, а со 2 по 6 июня – 45 задач. Сколько задач ученик решил 8 июня?

  22. Решите уравнение на интервале (-1; 1): .

  23. Решите в целых числах уравнение: .

  24. Найдите наибольший корень уравнения: .

  25. Найдите сумму всех чётных чисел, являющихся решениями неравенства .

  26. Вычислите сумму .

  27. Найдите сумму всех чисел, кратных 10 и принадлежащих интервалу (12; 123).

  28. Найдите числитель несократимой обыкновенной дроби, в которую переводится десятичная бесконечная периодическая дробь 1,2(6).

  29. Найдите число членов геометрической прогрессии 3; -1; ; … ; .

  30. Найдите первый член убывающей четырёхчленной геометрической прогрессии, зная, что сумма крайних членов этой прогрессии 27, а сумма средних членов 18.

Ответы.

Номер задания

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Ответ

7

14

16

8

7

136

10

10

4

16




Номер задания

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Ответ

40

3

111

0,5

17

685,9

39300

3

80

0,5




Номер задания

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Ответ

17

0,5

7

4

60

497

770

19

9

24


Заключение.

Успешность общества – это успешность его граждан, а основы этой успешности закладываются в школе. Выпускник школы стоит на пороге одного из важнейших этапов жизни, связанного с самоопределением в будущей профессиональной деятельности, с применением знаний, полученных в школе, для продолжения образования или получения профессии.

Выполняя социальный заказ общества, школа должна нацеливать учащихся на условия рынка, на готовность к конкуренции. В условиях конкуренции в образовании ЕГЭ выступает как независимая экспертиза качества знаний учеников, оценки конкурентоспособности полученных умений и навыков. А достижения выпускников на ЕГЭ стимулируют признание их успешности в социуме.

Учащиеся приходят к успеху через кропотливый, упорный интеллектуальный труд. В результате педагогического партнёрства между учеником и учителем происходит совместный поиск решения проблем, формируется опыт преодоления трудностей в учебном труде, ученики осознают свои возможности.

Данную подборку заданий можно использовать при заключительном повторении в 9 классе и в 11классе в рамках подготовки к ЕГЭ.

Литература


  1. Галицкий М, Л. И др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. Математики/М.Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – М.: Просвещение, 1992. – 271 с.

  2. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ авторы-составители: Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская, А.Р. Рязановский, П.В. Семенов – М.: Интеллект-Центр, 2007.

  3. Ершова А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса. – М.:ИЛЕКСА, 2006.

  4. Звавич Л. И. Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе. – М.: Просвещение, 2006.

  5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Пешков КН., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение., 2000 и последующие года.





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconВыпускная квалификационная работа
Структурный анализ рынка и его значение для формирования конкурентной стратегии

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconСанкт-петербургский государственный университет юридический факультет кафедра гражданского права
Выпускная квалификационная работа студента 4 курса дневного отделения Жирнова Романа Александровича

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconВыпускная квалификационная работа
Использование образа бабы –яги для психологической помощи в процессе перехода из состояния ученичества (студенчества) в состояние...

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconВыпускная квалификационная работа
Настоящие Учебно-методические рекомендации дополняют и развивают сложившийся в Современной Гуманитарной Академии (сга) порядок подготовки...

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconМетодические рекомендации по оформлению выпускных квалификационных работ Примерный перечень тем
Выпускная квалификационная работа – это итоговая аттестационная научная работа студента, выполненная на выпускном курсе, оформленная...

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Выпускная квалификационная работа по направлению 050400. 62 «Социально-экономическое образование»

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconФедеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Выпускная квалификационная работа по специальности 050301. 65 «Русский язык и литература»

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconПравительство Российской Федерации Федеральное государственное автономное...
Факультет государственного и муниципального управления Кафедра финансового менеджмента в государственном секторе выпускная квалификационная...

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconМетодические указания по написанию дипломной работы для студентов...
Выпускная квалификационная (дипломная) работа (вкр) является одним из видов аттестационных испытаний итоговой государственной аттестации...

«Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию на егэ» Выпускная квалификационная работа iconУчебно-методическое пособие выпускная квалификационная работа порядок...
Целью данного пособия является предоставления всем участникам образовательного процесса необходимой методической помощи при организации...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск