Научно практическая конференция «Удивительный мир математики»






Скачать 272.44 Kb.
НазваниеНаучно практическая конференция «Удивительный мир математики»
страница1/3
Дата публикации21.10.2013
Размер272.44 Kb.
ТипРеферат
top-bal.ru > Математика > Реферат
  1   2   3
Муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

-средняя общеобразовательная школа № 1 п. Степное

Научно – практическая конференция

«Удивительный мир математики».

Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами в рамках подготовки к ЕГЭ.

Авторы: ученики 11 Б класса

Клепикова Д., Иванов С.

Руководитель: учитель математики Копылова Т. Ю.

Степное 2013

Содержание

Введение …………………………………………………………………… ……..2

Глава 1 Теоретические аспекты темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами » в школьном курсе математики……………………….………………………………..…………….3

1.1 Анализ изложения темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами » в учебно-методической и научно-популярной литературе…………………………………………...…………..........................3

1.2 Изучение темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами». ……………..……..…………………………………………7

Заключение .………………………………………………………….……..…....9

Список использованной литературы……………………………………….….10

Приложения.…………………………………………………………………….. 11

Введение.

«-Что за прелесть эти задачи с параметрами!

Каждая из них - поэма!»

^ С. А. Тынякин.

Среди конкурсных задач по элементарной математике «задачи с параметром» традиционно считаются трудными. Обычные задачи с простой формулировкой: «решить уравнение (неравенство или систему)» имеют вполне определенные алгоритмы решения. С другой стороны, задачи с параметром предполагают умение анализировать постановку задачи и грамотно излагать логически сложную последовательность ее решения. В первую очередь здесь необходимо понять постановку задачи, так как зачастую это во многом определяет логику ее решения.

Вторая часть вариантов ЕГЭ состоит из шести задач типа С (с развернутым ответом), среди которых задача С5 – «задача с параметром» имеет высокий уровень сложности. Основной целью второй, «вузовской» части варианта (в отличие от первой части, носящей характер «зачета» по курсу математики средней школы) является дифференциация выпускников в отношении их возможностей дальнейшего обучения в вузах с различными требованиями к математической подготовке учащихся. Задания части 2 предназначены для проверки знаний, которые необходимы в вузах с профильным экзаменом по математике. Задание С5 по своей постановке, как правило, алгебраическое, однако в процессе его решения используются функциональные и наглядно-геометрические представления. Поэтому развитие этих представлений у учащихся (начиная с изучения линейной и квадратичной функций) являются особенно актуальными.

Глава 1 Теоретические аспекты изучения темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами » в школьном курсе математики.

1.1 Анализ изложения темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами » в учебно-методической и научно-популярной литературе.

Определение понятия «параметр», уравнений и неравенств с параметрами в большинстве учебников по математике даётся на интуитивном уровне. Определение неравенства с параметрами приводятся в учебниках А.Г. Мордкович. Н. Я. Виленкина, а также С. М. Никольского. Однако предлагаемые методы решения носят частный характер. (Приложение 1)

Все предложенные приёмы решения опираются на определения вида «если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а буквами, то эти буквы называются параметрами, а неравенство – параметрическим». При этом если нет точных определений термина «параметр», «задачи с параметрами» и других связанных с ними понятий, то невозможно проведение исследований, устанавливающих связь этих задач с основными математическими понятиями. Задачи с параметрами относятся к тому классу задач, где отсутствуют алгоритмы. Эти задачи требуют умения проводить разветвлённые самостоятельные логические построения. Именно это и вызывает у учащихся «робость» перед такими задачами. Для того чтобы преодолеть эти затруднения, необходимо всем используемым понятиям дать корректные определения, которые приводятся в другой учебно-методической и научно-популярной литературе.

В книге Горнштейна П.И. «Задачи с параметрами» рассматриваются аналитические, функциональные и графические методы решения задач с параметрами на примере более 700 задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы. Материал пособия помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты, посвященные определенным типам задач или приемам их решения. Часть задач разбирается очень подробно, при этом демонстрируется несколько методов решения.

Пособие «Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5» под ред. Ф. Ф. Лысенко адресовано учащимся 10— 11-х классов. Оно состоит из вариантов тестовых заданий по отдельным темам: «Алгебраические выражения», «Уравнения», «Неравенства» и др., которые являются традиционными в курсе математики и поэтому входят в ЕГЭ. Оно состоит из вариантов тестовых заданий по отдельным темам: «Алгебраические выражения», «Уравнения», «Неравенства» и др., которые являются традиционными в курсе математики и поэтому входят в ЕГЭ. Согласно спецификации ЕГЭ-2011, задание С5 является уравнением, неравенством или системой с параметром. Однако начинать подготовку к ЕГЭ с решения задач подобного уровня невозможно и безрезультатно. В связи с этим авторы предлагают подготовительные тесты по основным темам, материал которых используется при решении задач с параметрами. Последняя глава содержит задачи, аналогичные заданиям С5 на предстоящем ЕГЭ.

В книге И. Ф. Шарыгина «Факультативный курс по математике», основной целью которой является подготовка учащихся к продолжению образования в высших учебных заведениях и повышение уровня общей математической подготовки приводится большой обзор задач с параметрами, которые можно использовать на разных этапах изучения темы.

Содержательная линия задач с параметрами В.В. Мирошина «Решение задач с параметрами. Теория и практика» наиболее успешно позволяет использовать её для тщательной подготовки к ЕГЭ.

Автор предлагает основные понятия, связанные с понятием параметра в контексте, необходимом для дальнейшего понимания различных методов решения неравенств с параметром. В частности, функционального и графического методов.

Функциональный метод решения является составной частью линии обучения. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении неравенств:

  1. кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных функций;

  2. свойства чётности и нечётности;

  3. периодичность;

  4. свойства ограниченности области определения или области значения функции;

  5. в случае неявного задания функции – свойства симметрии графика относительно осей координат, начала координат и т. д.

Графический метод решения представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная. Решение задачи в этом случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной, принадлежащей линии или области, задаваемой условием. Действительно, решение задачи с параметрами есть упорядоченный набор значений аргумента и параметра, который может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидового пространства. В частности, неравенство относительно одной переменной с одним параметром задаёт на плоскости некоторые области координатной плоскости. Неравенство относительно двух переменных и одним параметром задаёт соответствующие области пространства.

В пособии приводятся примеры применения понятия общего решения неравенства с параметром и следующей теоремы:

^ В каждой внутренней точке любой из областей G1 G2,…, Gn ,на которые линия, заданная уравнением, делит плоскость, многочлен P(a,x) либо положителен, либо отрицателен.

Данная теорема является обобщением известного метода интервалов решения неравенств с одной переменной. Т. о., общее решение неравенства P(a,x)۷0 образует совокупность тех областей, в которых значения многочлена отвечают соответствующему знаку неравенства. Для установления, какая из областей входит в ту или иную совокупность, достаточно вычислить значение P(a,x) в какой-нибудь определённой точке этой области. При каждом значении параметра α€Dp возникает частное неравенство P(a,x)۷0 относительно одной переменной, решаемое частными методами. Геометрически множество решений этого неравенства определяется как множество соответствующих координат x точек прямой а=α, принадлежащих соответствующим областям знакопостоянства P(a,x).

Итак, для решения неравенств с параметрами, необходимо:



  • Преобразовать выражение и привести его к виду

или

  • В координатной плоскости построить линии и т.д. Эти линии разбивают плоскость на области.

  • Определить знак левой части неравенства в каждой области.

  • Выбрать те области, которые удовлетворяют условию.

Пример 1 (Приложение2)

«Фундаментальными» образующими области задач с параметрами являются

  1. Неравенства степени не выше второй.

  2. Задачи, приводящие к исследованию их систем и совокупностей.

  3. Задачи, использующие свойства квадратного трёхчлена.

  4. Тригонометрические задачи.

Решить линейное неравенство P(a,x)۷0 можно лишь графически, указав геометрическое место точек, т. е. применяя метод областей. После изучения этого метода целесообразно рассмотреть решение текстовых задач, используя график линейной функции. Решение неравенств с параметрами второй степени выполняется, применяя свойства квадратичной функции; сохранения знака значений квадратичного трёхчлена, его корней; их расположения относительно начала координат, относительно точки р числовой оси и относительно интервала (р;q).Лишь после изучения решения неравенств такими методами рассматриваются неравенства, в которых ограничения на величину корней квадратного трёхчлена или их расположение возникают из свойств или области значения функции, входящей в условие. Использование общих свойств функций является достаточно часто встречающимся приёмом при решении многих задач. Пример 2.(Приложение 3)

^ 1.2 Изучение темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами».

Изучение темы «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами» необходимо для расширения теоретических и практических знаний. Простейшим примером неравенства с параметром является понятие линейного неравенства с параметром. Рассмотрим решение линейного неравенства с параметром при наличии дополнительных условий, решение неравенства с параметром, приводимого к линейному, систем линейных неравенств с параметрами.

^ Примеры 3-4. (Приложение 4)

Рассмотрим типы неравенств с параметрами, решаемых функционально-графическим методом. Первый тип задач: исследовать свойства функции в зависимости от значений параметра а. Второй тип задач: параметр рассматривается при задании области определения функции. Третий тип задач: вводятся дополнительные условия на простейшие свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.). Четвертый тип задач: вводятся дополнительные условия на такие свойства функции, как непрерывность, дифференцируемость, наличие экстремумов.

Решение квадратного неравенства с параметром зависит от коэффициента а и дискриминанта. При решении квадратного неравенства с параметром целесообразно применять график, а также теорему Виета. Решение квадратного неравенства с параметром при наличии дополнительных условий и остальные задачи сводятся к исследованию расположения корней квадратичной функции и к исследованию расположения графика квадратичной функции. Решения квадратных неравенств можно классифицировать следующим образом: первого вида («для каждого значения параметра найти все решения неравенства»), второго вида («найти все значения параметра, при каждом из которых неравенство удовлетворяет заданным условиям). Пример5. (Приложение 5)

Решить линейное неравенство P(a,x)۷0 можно лишь графически, указав геометрическое место точек, т. е. применяя метод областей.

Функциональный метод решения является составной частью линии обучения. Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении неравенств: использование ограниченности области определения или области значения функций, входящих в левую и правую части неравенств, свойства чётности и нечётности, периодичности, а также экстремальных свойств функции. В случае неявного задания функции – свойства симметрии графика относительно осей координат, начала координат и т. д.

Графический метод решения представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная.

^ Особенности решения.

1) Так как рассматриваются аналитически заданные функции, то свойства таких функций определяются свойствами соответствующих выражений.

2) Выражение f(x,a) при каждом значении параметра а задает функцию у=f(x,a), т.е. при всех допустимых значениях параметра а получаем семейство функций.

3)С наглядно-геометрической точки зрения параметр в формуле задает семейства графиков функций на координатной плоскости.

4)При аналитической записи ответа целесообразно одновременно приводить его изображение на координатной плоскости.

Графические интерпретации – одно из самых эффектных и эффективных средств решения неравенств с параметрами.

Стоит выделить две разновидности рассматриваемого приёма:

  1. Изображение на плоскости (хОа), где х - неизвестное, а - параметр.

  2. На плоскости (хОу) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра а.

Первый способ обычно применяется в неравенствах, в которых фигурируют лишь неизвестная х и параметр а, или сводящиеся к таким. (Пример 6, приложение 7).

Второй часто оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными х и у и одним параметром а.

Изучив все особенности функционально-графического метода, можно приступать к решению заданий типа С5 с целью подготовки к ЕГЭ.( Пример7-9,приложение 8.)

Заключение.

В ходе работы над темой «Функционально-графические методы решения неравенств с параметрами » были изучены теоретико-методические аспекты её изучения в школьном курсе математики, проанализировано её изложение в учебно-методической и научно-популярной литературе.

Был сделан вывод об особенностях решения задач с параметром.

  1. Так как рассматриваются аналитически заданные функции, то свойства таких функций определяются свойствами соответствующих выражений.

  2. Выражение при каждом значении параметра, а задает функцию, т.е. при всех допустимых значениях параметра а получаем семейство функций.

  3. С наглядно-геометрической точки зрения параметр в формуле задает семейства, которые позволяют широко применять графическую иллюстрацию.

4) При аналитической записи ответа целесообразно одновременно приводить его изображение на координатной плоскости.

Вывод: удобнее и эффективнее использование функционально-графических методов решения (на координатных плоскостях хОа или хОу).

Задачи с параметрами - это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет её применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» её, считает своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о её существовании. Если человек умеет решать задач с параметрами, он - ас в математике.
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconАссоциация гимназий Санкт-Петербурга Десятая юбилейная научно-практическая...
«Научно-методическая, научно-практическая и просветительская деятельность гимназий»

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconНаучно практическая конференция школьников памяти В. З. Власова и...
Научно практическая конференция школьников памяти В. З. Власова и Н. В. Богданова

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconИнформационное письмо II научно-практическая интернет конференция...
Научно-практическая интернет конференция студентов, аспирантов и молодых ученых

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconНаучно практическая конференция учащихся «Шаг в будущее» «Удивительный квадрат»
В общеобразовательных школах предлагаются некоторые исследовательские задания ученикам, которые проявляют интерес к математике. Но...

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconВ сероссийская научно-практическая конференция, посвященная 75-летию...
Всероссийская научно-практическая конференция, посвященная 75-летию со дня рождения Заслуженного деятеля науки рф, профессора А....

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconКонспект урока внеклассного чтения по литературе «Удивительный мир Андерсена»
«погружение» в удивительный мир сказочника, вживание в созданный автором мир, приобщение к «секретам» авторского мастерства

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconМеждународная научно-практическая конференция «Дети и окружающая...
Окружающий мир глазами детей: философия, психология, педагогика, история, литература, религиоведение, этнография

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» icon28-30 октября 2010 года на филологическом факультете Самарского государственного...
«28–30 октября 2010 года на филологическом факультете Самарского государственного университета состоится третья научно-практическая...

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconПоложение Городская научно-практическая конференция
Организация, подготовка и проведение конференции осуществляется оргкомитетом научно-практической конференции

Научно практическая конференция «Удивительный мир математики» iconX ІІІ международная научно-практическая интернет-конференция «Проблемы...
Информируют Вас, что с 30 по 31 июля 2013 г проводится XІІІ международная научно-практическая интернет-конференция «Проблемы и перспективы...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск