Решение задач по системе счисления. Часть 2






Скачать 73.27 Kb.
НазваниеРешение задач по системе счисления. Часть 2
Дата публикации31.10.2013
Размер73.27 Kb.
ТипРешение
top-bal.ru > Математика > Решение

Решение задач по системе счисления. Часть 2.

Учитель информатики Батракова Л.В.


11. Решите уравнение .
Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Решение: Надо перевести все числа в десятичную систему, решить уравнение и результат перевести в четверичную систему:

1)

  1. из уравнения получаем

  2. переводим 22 в четверичную систему счисления:

Ответ: 112
12. Запись натурального числа в системах счисления с основанием 4 и 6 заканчивается на 0. Найдите минимальное натуральное число, удовлетворяющее этим условиям.

Решение: если запись числа в системе счисления с основанием N заканчивается на 0, то это число делится на N нацело, поэтому в данной задаче требуется найти наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на 4 и на 6, то есть это число12.

Ответ: 12
13. Укажите, сколько всего раз встречается цифра 3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 4.

Решение (вариант 1):

При решении задачи надо помнить, что в 4-ой системе счисления самая старшая цифра – 3.

Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 4:

13 = 314, 23 = 1134 .

Оба они содержат цифру 3, так что, 2 цифры мы уже нашли.

Между 314 и 1134 есть еще числа:

324, 334, 1004, 1014, 1024, 1034, 1104, 1114, 1124.

В них 4 цифры 3, поэтому всего цифра 3 встречается 6 раз.

^ Ответ: 6
Решение (вариант 2):

Можно перевести все указанные числа в систему счисления с основанием 4 и подсчитать количество 3:

13 =314 , 14 =324 , 15 =334 , 16 =1004 , 17 =1014 , 18 =1024, 19 =1034 , 20 =1104 , 21 = 1114, 22=1124, 23 = 1134 .

Получается 6 штук.

Ответ: 6
14. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.

Решение: Так как число по условию двухзначное, то достаточно найти первое целое число, квадрат которого больше 50; это - 8, так как:



Так как , следовательно, в системе счисления с основанием 7 запись числа 50 будет трехзначна, а в 8-ой системе счисления – двузначной.

Ответ: 8
15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

Решение: Поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр. Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 4, это 4. Выпишем все числа в шестеричной системе счисления, которые являются двузначными, начинаются с 4 и не превосходят 25 в десятичной системе. Это числа: 406 = 24, 416 = 25. Ответ: 4, 24, 25
16. Запись числа 658 в некоторой системе счисления выглядит так: 311N. Найдите основание системы счисления N.

Решение: Из условия задачи следует, что 658 = 311N. Переведем 658 в десятичную систему счисления:

,

Второе число разложим по основанию счисления N:

Так как что 658 = 311N , то можно записать: .

Решаем это уравнение и получаем, что N = 4.

Ответ: 4
17. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 3110 * 810 + 110 2) F016 + 110 3) 3518 4) 111000112

Решение: Нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее из чисел, в которых ровно 5 единиц.

Для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:

31­10 = 11111­2 810 = 1000­2

В первом числе ровно 5 единиц, умножение на второе добавляет в конец три нуля:

31­10 * 810 = 11111­2 * 1000­2 = 111110­002

то есть в этом числе 5 единиц, но надо добавить еще одну единицу в конец, получим число 11111001, в котором 6 единиц. Так как нам нужны числа с 5-ю единицами, то это число не рассматриваем.

Для второго варианта воспользуемся двоичным представлением 16-ричных чисел: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):

F­016 = 1111­00002

после добавления единицы F016 + 1 = 1111 00012 получаем число, содержащее ровно 5 единиц.

Для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:

3518 = 11101001­2

это число тоже содержит 5 единиц, но меньше, чем число во втором варианте ответа.

Последнее число 111000112 уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 5 единиц, но меньше второго и третьего числа.

Таким образом, только 3 числа, указанные в вариантах ответов, содержат ровно 5 единиц, но наибольшее из них – второе.

Ответ: 2
18. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько среди них чисел, больших, чем А416 +208?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение: Надо перевести А416 +208 в двоичную систему счисления, разложив их по тетрадам для 16-х чисел и по триадам для 8-х чисел: А416 - 101001002 и 208 - 100002 и поразрядно сложить: 101001002 + 100002 = 101101002.

Сравнив с заданными числами, видим, что только одно число больше полученного, это: 10111000.

Ответ: 1
19. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Так как приписали 2 нуля, то для решения задачи достаточно вычислить 82 =64.

^ Ответ: 64
20. Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.

Решение: Обозначим искомое основание системы счисления через x, тогда можно записать выражение:

109 = 2x2+x+4 или 2x2+x-105 = 0. Решив это уравнение, получим x=7.

Ответ: 7
Дополнительно (для самых умных):

  1. Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.

Решение: Из первых двух условий задачи следует, что 52 = 25 ≤ N < 62 = 36, следовательно, значение N надо искать из следующего набора чисел: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.

Из третьего условия находим число, которое при делении на 11 дает остаток 1, это число 34.

Проверка: 34 = 546 =5· 61 + 4 · 60 , 34 = 1145 = 1· 52 + 1 · 51 + 4 · 50 , 34 = 3111 = 3 · 111 + 1 · 110 .

Ответ: 34


  1. Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.


Решение: Так как старшая цифра в выражении 4, то надо рассматривать системы счисления, начиная с 5-ной.

Пятеричная система не подходит, т.к. 4 + 4 в пятеричной системе даст нам последнюю цифру в ответе 3. Шестеричная система так же не подходит – последняя цифра в ответе будет 2. А вот семеричная система подойдет для всех цифр ответа.

Ответ: 7
Дополнительно (для самых-самых умных):
1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

  • неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

  • можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0

= k·N2 + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение: Нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …).

Сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа.

Из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число.

Выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

Ответ: 2, 3, 5, 30.
Замечание: Можно, конечно, решить задачу и методом подбора.

31 = 25 – 1 = 111112

31 = 10113

31 = 1115

31 = 1130
2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение: Из условия задачи видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23x), то справедливо равенство .

Нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , но таких решений нет.

Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300x, где . При минимальном основании () оно равно.

Следовательно, запись нужного нам числа имеет три знака.

Можно записать: , где – целое неотрицательное число, такое что .

Максимальное можно определить как решение уравнения (при ).

Получаем одно из решений – 6,15. Отсюда: 4≤.

определится как: .

Подставим поочередно в эту формулу , пытаясь получить .

Минимальное = 4 будет при , т.е условиевыполняется, а при получается .

Ответ: 6





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconШкольная олимпиада по информатике
Двузначное число в системе счисления с основанием 5 при перестановке местами цифр становится числом большим на единицу, но записанным...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconАрифметические операции в двоичной системе счисления
...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconЭлективный курс по химии «Решение задач по органической химии»
Значение решения задач в школьном курсе химии переоценить трудно. Во-первых, решение задач это практическое применение теоретического...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconПлан-конспект урока Системы счисления(10 класс)
Цель урока: закрепление, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Системы счисления» правил перевода и выполнения арифметических...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconУрока в 5 классе по теме: «Решение примеров и задач. Урок №16»
Цель: решение примеров и задач по данной теме, решение примеров на все действия, обобщение понятия движения по реке

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconПрограмма элективного курса по физике «Готовимся к егэ по физике»
Целью элективного курса является: обеспечение дополнительной поддержки учащихся классов универсального обучения для сдачи егэ по...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconПрограмма элективного курса по физике «Готовимся к егэ по физике»
Целью элективного курса является: обеспечение дополнительной поддержки учащихся классов универсального обучения для сдачи егэ по...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconРешение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые...
Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием...

Решение задач по системе счисления. Часть 2 icon1 байт = 8 битов
Выполните №43, 44 в рабочей тетради (номера упражнений даются в двоичной системе счисления) – дифференцированное Д/з

Решение задач по системе счисления. Часть 2 iconПрограмма Факультативного курса «Решение текстовых задач»
«Решение текстовых задач» рекомендуется вводить с 7-го класса, когда появляется возможность проведения факультативных занятий



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск