Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»






Скачать 62.93 Kb.
НазваниеРешение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»
Дата публикации31.10.2013
Размер62.93 Kb.
ТипРешение
top-bal.ru > Математика > Решение

Примеры заданий:

Пример 1:


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Общий подход:

  • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на , а две младших цифры – это остаток от деления на и т.д.

  • в данном случае , остаток от деления числа на должен быть равен 114 = 5

  • потому задача сводится к тому, чтобы определить все числа, которые меньше или равны 25 и дают остаток 5 при делении на 16

Решение (вариант 1, через десятичную систему):

  1. общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16:



где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …)

  1. среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25»); их всего два: 5 (при ) и 21 (при )

  2. таким образом, верный ответ – 5, 21 .

Возможные ловушки и проблемы:

    • выражение «не превосходящие » означает «меньшие или равные », а не строго меньшие

    • остаток, состоящий из нескольких цифр (здесь – 114), нужно не забыть перевести в десятичную систему

    • найденные числа нужно записать именно в порядке возрастания, как требуется

Решение (вариант 2, через четверичную систему, предложен О.А. Тузовой):

  1. переведем 25 в четверичную систему счисления: 25 = 1214, все интересующие нас числа не больше этого значения

  2. из этих чисел выделим только те, которые заканчиваются на 11, таких чисел всего два:
    это 114 = 5 и 1114 = 21

  3. таким образом, верный ответ – 5, 21 .



Возможные ловушки и проблемы:

    • есть риск случайно «забыть» какое-то число или найти «лишнее» (в данном случае – большее 25)

    • можно сделать ошибки при переводе чисел из четверичной системы в десятичную или вообще «забыть» перевести

Пример 2:


^ Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Общий подход:

  • здесь обратная задача – неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • поскольку последняя цифра числа – 2, основание должно быть больше 2, то есть

  • вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием (см. презентацию), из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на

Решение:

  1. итак, нужно найти все целые числа , такие что остаток от деления 23 на равен 2, или (что то же самое)

(*)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

  1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

  2. из формулы (*) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 21, которые больше 2

  3. в этой задаче есть только три таких делителя: и

  4. таким образом, верный ответ – 3, 7, 21 .

Возможные ловушки и проблемы:

    • нужно учесть, что основание системы счисления должно быть больше любой цифры числа, поэтому делитель не подходит (должно быть )

    • числа нужно записывать в ответе в порядке возрастания, как требуется по условию

Пример 3:


Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

  • неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

  • пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1N = k·N2 + N1 + N0 = k·N2 + N + 1

  • можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k4 k3 k2 1 1N = k4·N4 + k3·N3 + k2·N2 + N1 + N0

= k·N2 + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение:

  1. итак, нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

  1. сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа

  2. из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число

  3. выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  4. из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

  5. таким образом, верный ответ – 2, 3, 5, 30.

Пример 4:


Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 10, 11, 12, …, 17 в системе счисления с основанием 5.

Решение (вариант 1):

  1. запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 5:

10 = 205, 17 = 325 .

  1. заметим, что оба они содержат цифру 2, так что, 2 цифры мы уже нашли

  2. между 205 и 325 есть еще числа

215, 225, 235, 245, 305, 315.

  1. в них 5 цифр 2 (в числе 225 – сразу две двойки), поэтому всего цифра 2 встречается 7 раз

  2. таким образом, верный ответ – 7.

Возможные ловушки и проблемы:

    • нужно не забыть, что в системе счисления с основанием 5 старшая цифра – 4, то есть, вслед за 245 следует 305

    • помните, что нужно определить не количество чисел, в которых есть двойка, а количество самих двоек

    • можно не обратить внимание на то, что в числе 225 цифра 2 встречается 2 раза

Решение (вариант 2):

  1. переведем все указанные числа в систему счисления с основанием 5:

10 = 205, 11 = 215, 12 = 225, 13 = 235, 14 = 245, 15 = 305, 16 = 315, 17 = 325 .

  1. считаем цифры 2 – получается 7 штук

  2. таким образом, верный ответ – 7 .

Пример 5:


Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 трехзначна.

Решение:

  1. обозначим через неизвестное основание системы счисления, тогда запись числа 30 в этой системе имеет вид



  1. вспомним алгоритм перевода числа из системы счисления с основанием в десятичную систему: расставляем сверху номера разрядов и умножаем каждую цифру на основание в степени, равной разряду:



  1. поскольку запись трехзначная, , поэтому

  2. с другой стороны, четвертой цифры нет, то есть, в третьем разряде – ноль, поэтому

  3. объединяя последние два условия, получаем, что искомое основание удовлетворяет двойному неравенству



  1. учитывая, что – целое число, методом подбора находим целые решения этого неравенства; их два – 4 и 5:





  1. минимальное из этих значений – 4

  2. таким образом, верный ответ – 4 .

Решение (без подбора):

  1. выполним п.1-4 так же, как и в предыдущем варианте решения

  2. найдем первое целое число, куб которого больше 30; это 4, так как



  1. проверяем второе неравенство: , поэтому в системе счисления с основанием 4 запись числа 30 трехзначна

  2. таким образом, верный ответ – 4 .

Пример 6:


Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 30, запись которых в системе счисления с основанием 5 начинается на 3?

Решение:

  1. нас интересуют числа от 1 до 29

  2. сначала определим, сколько цифр может быть в этих числах, записанных в системе счисления с основанием 5

  3. поскольку , в интересующих нас числах может быть от 1 до 3 цифр

  4. рассмотрим трехзначные числа, начинающиеся на 3 в системе с основанием 5:



все они заведомо не меньше , поэтому в наш диапазон не попадают;

  1. таким образом, остается рассмотреть только однозначные и двухзначные числа

  2. есть всего одно однозначное число, начинающееся на 3, это 3

  3. общий вид всех двузначных чисел, начинающихся на 3 в системе с основанием 5:



где – целое число из множества {0, 1, 2,3,4} (поскольку система счисления имеет основание 5 и цифр, больших 4, в записи числа быть не может)

  1. используя эту формулу, находим интересующие нас двузначные числа – 15, 16, 17, 18 и 19

  2. таким образом, верный ответ – 3, 15, 16, 17, 18, 19 .





Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconТематическое планирование математика 6 класс
Число и цифра. Таблица классов и разрядов. Поместное значение цифр. Простые и составные числа. Округление чисел до десятков и сотен....

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconЛитературный обзор
Понятие Диофантовые уравнения в современной математике часто относят также к алгебраическим уравнениям, решения которых отыскиваются...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconИтмо. 2010 год. Туры 1 и 2
Посчитайте количество десятичных натуральных чисел, больших 4 и не превосходящих 19, при записи которых в троичной системе счисления...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconУмножение многозначных чисел на однозначное число. (4 класс)
Цели: формирование умения выполнять умножение многозначных чисел на однозначное число; воспитание собранности, аккуратности, внимания...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» icon8-й класс решение задач составлением квадратных уравнений
Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найдите сумму этих чисел, и вы узнаете, сколько пар хромосом в хромосомном...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconРешение планиметрической задачи на нахождение геометрических величин...
Ответом на задания В1 –В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Единицы измерения писать не нужно

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconТема №7-8
Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconИгры на сплочение коллектива Конкурсная программа «миксер»
«Посчитай». Командам выдается комплект небольших карточек с написанными на них цифрами. Задача – найти сумму всех чисел и назвать...

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconУрок-сказка 2 класс Тема: Сложение и вычитание двузначных чисел в пределах 100
Цели: 1 Закрепить навыки сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток в пределах 100

Решение (вариант 1, через десятичную систему): общий вид чисел, которые дают остаток 5 при делении на 16: где целое неотрицательное число (0, 1, 2, …) среди всех таких чисел нужно выбрать те, что меньше или равны 25 («не превосходят 25» iconКонспект урок сказка (фгос «Школа 2100») Тема: двузначных чисел в пределах 100
Закрепить навыки сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток в пределах 100



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск