Скачать 111.75 Kb.
|
Профессиональный конкурс работников образования Всероссийский интернет-конкурс педагогического творчества (2012/13 уч. год) Управление образования Администрация Бутурлиновского муниципального района Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Великоархангельская средняя общеобразовательная школа Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Великоархангельская средняя общеобразовательная школа. 11 класс. Тема урока “Иррациональные уравнения”. Учитель математики Зайцева Нина Викторовна. Цели урока:
Попробуйте без алгебры прожить, Без логарифмов и без уравнений, ^ Здесь никаких не может быть сомнений.
Решением уравнений в школе мы с вами занимаемся, по меньшей мере, в течение семи лет. В этом году вам придется сдавать выпускные и вступительные экзамены, где часто предлагаются уравнения, в которых применяются преобразования, обычно не встречающиеся при решении стандартных школьных уравнений. Сегодня на уроке мы рассмотрим различные методы решения иррациональных уравнений. Определение: уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным. Например: Даны уравнения. Какое из них иррациональное? ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Вспомните понятие корня n–ой степени: (корнем –ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а), т.е. ![]() ![]() Введение арифметического корня автоматически приводит к появлению еще одного понятия «модуль числа». Действительно, чему равен ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() А если же нам ничего неизвестно о знаке, например, √ sin2x , мы вынуждены придумать новое понятие “модуль числа”: ![]() ![]()
Отметим важные свойства корней, которые необходимо помнить при решении иррациональных уравнений: -Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла. -Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям. Рассмотрим несколько уравнений (устно, по заранее подготовленным записям): Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет. При ![]() ![]() ![]() Найдем область допустимых значений для левой части уравнения. ![]() ![]() ![]() Левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного ![]() ![]() Данное уравнение заведомо не может иметь решений, т.к. левая часть этого уравнения не существует ни при одном значении неизвестного ![]() Нельзя ставить вопрос о том, при каких значениях ![]() Из того факта, что алгебраическое выражение написано, не следует, что оно существует. Строго говоря, следует выяснить, существует ли оно, и если существует, то где, и лишь после этого решать поставленную задачу: решить уравнение (неравенство), строить график и т.д. Еще раз подчеркнем, что это уравнение заведомо не может иметь решений. Ответ: данное уравнение заведомо не может иметь решения. Левая часть уравнения есть разность двух корней, при этом при любых значениях ![]() ![]() ![]() ![]() Запись: ![]() ![]() если ![]() ![]() Этот метод называется метод освобождения от знака радикала.
1) Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в такую степень, чтобы освободиться от корня (радикала).
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6-8=-2, 6-не корень. Ответ: 11.
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: -2, 3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 3, 4. Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения ![]() Как правило, иррациональные уравнение сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства: ![]() Из двух систем выбирают ту, которая решается проще. ![]() Ответ: -1. 2)Метод уединения корня. Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа? Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае? Запись: ![]() Решение. ![]() Ответ: 0. В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения. Ответ: 5, 17.
пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]()
![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() пусть ![]() ![]() Ответ: 3. пусть ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: -4,5; 2.
В некоторых иррациональных уравнениях разность подкоренных выражений в одной части совпадает с другой частью или является множителем ее. В этом случае целесообразно использовать данный метод.
![]() ![]() ![]() ![]() Сложим (1) и (2) и получим ![]() Ответ: -4,5; 2. ОДЗ. ![]() Умножим обе части на выражение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка: ![]() ![]()
![]() ![]() Ответ: -1.
![]() Ответ: 1, 3. ![]() ![]() Ответ: ![]() Применение группировки. ![]() Ответ: 1, 4.
![]() ![]() ![]() _ ![]() ![]() ![]() 0 2 3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() решений нет. ![]() ![]() решения системы Осуществим подстановку ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 8)Метод оценки. ^ И будет неизвестная Величина О, ее спаситель, за дело возьмись, С этим уравнением разберись! ![]() Преобразуем данное уравнение. ![]() Оценим левую и правую части этого уравнения: ![]() ![]() Сложим почленно равенства (1) и (2) ![]() ![]() Таким образом, левая часть данного уравнения не меньше 5, а правая не более 5.Равенство достигается только в том случае, если каждая часть исходного уравнения равна 5. Это возможно в том случае, если ![]() Ответ: -1.
Метод обращения к монотонности функции чаще всего применяется в двух случаях. Во-первых, тогда, когда данное уравнение имеет в одной части функцию возрастающую, а в другой - постоянную. Такое уравнение не может иметь более одного действительного корня. Например: (устно), ![]() Найдем область допустимых значений (или область существования уравнения). Итак, левая часть уравнения существует для любого ![]() ![]() Давайте внимательно посмотрим на левую часть. Выражение ![]() Представляет сумму двух монотонно возрастающих функций – функцию монотонно возрастающую. Для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 0 ![]() ![]() Заметим, что при решении этого уравнения мы учитывали не только область допустимых значений переменной ![]() ![]() ![]() Во-вторых, тогда, когда одна часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, а другая – убывающую. Графики таких функций не могут иметь более одной общей точки. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. ^ Решим уравнение, используя свойства монотонности функций. Предположим, что ![]() равенство ![]() Докажем, что других корней данное уравнение не имеет. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, уравнение действительно корней не имеет; поэтому ![]() ![]() ![]() Рассмотрим функцию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 2. При наличии времени классу предлагается решить иррациональные уравнения, содержащие корни степени выше второй, разные: ![]() ![]() ![]() Данные уравнения, предложены учащимся для самостоятельной работы. В конце урока проведена самостоятельная работа, текст которой учитель может подобрать, учитывая индивидуальные особенности детей класса. Подведение итогов урока. Учитель еще раз обращает внимание на методы решения, которые были использованы при решении иррациональных уравнений. После этого подводится общий итог. Задание на дом. Подобрать из разных источников иррациональные уравнения, решаемые различными методами. ![]() |
![]() | Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средней общеобразовательной школы | ![]() | Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: профессиональное образование |
![]() | Номинация конкурса (педагогические идеи и технологии: профессиональное образование) | ![]() | Автор: Щербицкая Владлена Сергеевна, педагог-психолог мбдоу №1 «Колокольчик» г. Новоалтайска |
![]() | Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Архангельской области | ![]() | Автор: Дорофеева Наталья Николаевна, преподаватель народных инструментов мбоудод мдши «Акварель» |
![]() | Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение центр развития ребенка | ![]() | Автор: Проняхина Наталья Равильевна, преподаватель народных инструментов мбоудод мдши «Акварель» |
![]() | Автор: тимергазин владимир хаметович, преподаватель хореографии мбоу дод «дши №10», высшая категория | ![]() | Тема: педагогический проект по формированию толерантности у детей 7-го года жизни |