Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического






Скачать 281.6 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Дата публикации04.12.2014
Размер281.6 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы

  • Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана
  • ПУЗАНОВ В. П.



  1. ЛЕКЦИИ




  1. ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»




  1. ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2003 год.

ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК И ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения вида

. (1)

Определим координаты особой точки. Для этого надо решить систему линейных алгебраических уравнений

(2)

относительно неизвестных и . При условии, что матрица



невырождена, т.е. , система линейных уравнений (2) имеет единственное решение , . На фазовой плоскости это соответствует началу координат. Следовательно, линейная система имеет единственную особую точку, которая совпадает с началом координат фазовой плоскости .

  1. Дифференциальное уравнение для фазовых траекторий имеет вид

(3)

Замечание. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

(4)

можно привести к виду (1) следующим образом. Введем обозначения , тогда . Разрешим уравнение (4) относительно старшей производной

.

  1. Тогда с учетом принятых обозначений имеем

. (5)

Сравнивая (1) и (5), видим, что

.
  • ^

    Способы построения фазовых портретов нелинейных систем по уравнениям первого приближения.





  1. Аналитические методы.

  2. С помощью ЭВМ.

Аналитические методы позволяют в явном виде получать уравнения фазовых траекторий. Здесь возможны следующие основные алгоритмы.

Алгоритм 1. Получив решения уравнений (1) как функции времени и начальных условий , , исключают из последних равенств время . В результате чего получают уравнения фазовых траекторий в явном виде.

Алгоритм 2. Непосредственное интегрирование дифференциальных уравнений фазовых траекторий

.

Этому предшествует, как правило, преобразование исходной системы к канонической форме записи системы уравнений.

^ Использование ЭВМ. Это универсальный численный метод пригодный как для уравнений первого приближения, так и для исходных нелинейных уравнений.

  1. Численным методом интегрируется система уравнения

,

.

  1. Запоминается таблица в виде

… … …

График

  1. Строится график, где по оси абсцисс откладываются значения , , … , ,а по оси ординат – значения , , … , .

В зависимости от корней характеристического уравнения линейной системы различают следующие типы особых точек.
  • ^

  • Случай 1. Корни характеристического уравнения – чисто мнимые (Центр).





  1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

характеристическое уравнение которого, будет иметь вид

. (2)
  1. ^

    Корни характеристического уравнения


. (3)

  1. Пусть начальные условия для уравнения (1) заданы

, .

Получим уравнение фазовых траекторий. На основании (3) решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

, (4)

где и – постоянные интегрирования, которые определяются заданными начальными условиями. Вычислим постоянные интегрирования и . Для этого вычислим предварительно производную по времени

. (5)

Теперь используем заданные начальные условия

.

  1. Таким образом

. (6)

Для того, чтобы получить уравнение фазовых траекторий, нужно из уравнений (6) исключить время . Из уравнений (6) последовательно получаем



Умножим первое уравнение на и сложим со вторым

,

откуда получаем

(7)

Из уравнения (7) находим

при ,

при .

Тогда уравнение (7) преобразуется к виду



Таким образом, фазовые траектории – это эллипсы с центром в начале координат и полуосями

и .

Укажем другой способ получения уравнений фазовых траекторий. Из уравнения (1) получим систему уравнений

. (8)

Поделим уравнения системы (8) (второе на первое)

, (9)

Полученное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение

, (10)

,

, (11)

где – постоянная интегрирования. Если теперь положить, что постоянная в (11) выбирается из заданных начальных условий , согласно равенству

,

то равенства (7) и (11) совпадают.

Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего дифференциального уравнения являются чисто мнимыми числами , то фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.

  • ^

    Случай 2. Корни характеристического уравнения – комплексно-сопряженные (фокус)



Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (1)

начальные условия , считаем заданными. Выпишем характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1)

, (2)

его решение имеет вид

, (3)

Пусть теперь параметры уравнения (2) таковы, что выполняются неравенства

, . (4)

Введем обозначения:

, , (5)

Тогда с учетом выполнения неравенств (4) и обозначений (5), корни уравнения (2) будут комплексно-сопряженными и запишутся в виде

, , (6)

Введем в рассмотрение фазовые переменные (переменные состояния) исследуемой системы

, .

Решение уравнения (1) будет

, (7)

где и – определяются начальными условиями. Из уравнения (7) получим



(8)

Из уравнений (7) и (8) при имеем

, (9)

откуда получаем:

, . (10)

Таким образом, уравнения (7) и (8) принимают вид

, (11)

. (12)

Уравнения (11) и (12) – это уравнения фазовых траекторий в параметрическом виде, параметр – время. Пусть теперь . Тогда

, .

Это означает, что изображающая точка по спиральной траектории приближается к началу координат фазовой плоскости (см. рисунок).



При этом процесс на выходе системы имеет вид, показанный на рисунке



Если теперь . Тогда

, .

Это означает, что изображающая точка движется по спиральной траектории, удаляясь от начала координат фазовой плоскости (см. рисунок).



При этом процесс на выходе системы имеет вид, показанный на рисунке



Направление движения изображающей точки определено согласно приведенному выше правилу для системы уравнений:


  1. Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейного дифференциального уравнения являются комплексно-сопряженными , то фазовые траектории представляют собой спирали с центром в начале координат, а особая точка – называется фокусом. При этом, если , то фокус – устойчивый – изображающая точка стремится к началу координат, точке равновесия; если , то фокус неустойчивый, изображающая точка удаляется от начала координат, система неустойчива.




  • ^

    Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, различные и одного знака (узел).



Рассмотрим систему автоматического управления, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений

. (1)

Для системы уравнений (1) матрица динамики системы управления имеет вид

, (2)

а характеристическое уравнение будет

,

,

.

Рассмотрим простейший частный случай: в уравнениях (1) .Тогда уравнение (1) принимает вид

. (4)

Матрица динамики системы (2):

, (5)

а характеристическое уравнение (3)

. (6)

Из уравнения (6) следует, что корни характеристического уравнения равны

, . (7)

Следовательно, коэффициенты и динамики системы (4) в этом случае являются корнями характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений (4). Тогда систему уравнений (4) можно переписать следующим образом

(8)

Форма записи уравнений динамики системы управления в виде (8) называется канонической диагональной формой (матрица динамики системы – диагональная)

, (9)

Из уравнений (8) получим дифференциальные уравнения фазовых траекторий

. (10)

Это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, последовательно получаем

,

,

. (11)

Получили в явном виде уравнения фазовых траекторий. Так как по условию корни характеристического уравнения действительны, различны и одного знака ( ), то это – уравнение парабол.

Есть ли среди фазовых траекторий траектории, которые являются прямыми, проходящими через начало координат (особую точку)?

Пусть – уравнение прямой, проходящей через начало координат, тогда . С учетом последних равенств уравнение (10) принимает вид



откуда получаем , . А это значит, что прямая (координатная ось ) является фазовой траекторией.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение фазовых траекторий имеет вид

(12)

и, аналогично предыдущему, считаем , . Тогда из (12) получаем

,

, .

Прямая (координатная ось ) также является фазовой траекторией.

Следовательно, есть две прямые, которые являются фазовыми траекториями – это в данном случае – координатные оси.

Итак, фазовый портрет системы имеет следующий вид


Устойчивый узел Неустойчивый узел

  1. Вывод. Если корни характеристического уравнения для дифференциальных уравнений динамики системы управления действительны, различны и одного знака, то фазовые траектории параболы, а особая точка – узел. При этом, если , - неустойчивый узел, а при , - устойчивый узел.

Как получить уравнения фазовых траекторий и построить фазовый портрет для системы управления, математическая модель которой задана системой уравнений (1)?

Для этой цели Выполним замену переменных по формулам

,

,

или в векторно – матричной форме записи ,где - невырожденная матрица этого преобразования . Матрица составлена из собственных векторов матрицы . Так как справедливо следующее равенство , то система исходных уравнений относительно новых переменных в векторно – матричной форме записи имеет вид . Так как матрица состоит из собственных векторов матрицы и корни ее характеристического уравнения и действительны и различны, то матрица является диагональной, то есть

.

Это диагональная форма записи матрицы динамики системы управления, записанной относительно новых переменных состояния и . Следовательно, система уравнений (1) в новых переменных имеет вид

,

аналогичный системе уравнений (8) и уравнение фазовых траекторий системы будет

.

Так как , то можно получить уравнения фазовых траекторий относительно старых переменных состояния . Здесь следует отметить, что замена переменных не меняет координаты и тип особой точки.

Какое положение в плоскости займут координатные оси , которые являются фазовыми траекториями? Для этой цели из уравнений (1) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

.

Так же как и раньше полагаем (прямая, проходящая через начало координат).

, .

.

Это квадратное уравнение относительно . Решив его – найдем уравнения прямых, которые являются фазовыми траекториями в плоскости (оси координат и ).

Фазовый портрет и переходный процесс на выходе системы (1) имеет вид



При замене системы координат – изменяется угловая ориентация осей координат.


  • ^

    Случай 4 Корни характеристического уравнения действительны и разных знаков (седло)



Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

, (1)

начальные условия заданы , .

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (1) имеет вид

, (2)

его корни, определяемые равенством

, (3)

являются действительными и имеют разные знаки ( ).
  1. ^
    Решение уравнения (1) аналогично предыдущему случаю имеет вид

. (4)

Аналогично предыдущему случаю получаем, что фазовыми траекториями являются прямые и y, где числа и определяются как решение квадратного уравнения

. (5)

Но так как и разных знаков, то эти прямые находятся в разных квадрантах фазовой плоскости.

Так как корни различны, действительны и имеют разные знаки, то справедливо , . Это значит, что процессы в системе расходящиеся, система неустойчива. Фазовые траектории в данном случае имеют вид



Для исходной системы уравнений уравнения асимптот

, ,

,

, ,

.


  • ^

    Случай 5 Корни характеристического уравнения равны кратные (вырожденный узел ).

  • Рассмотрим систему

.
  1. Матрица динамики системы


.

Характеристическое уравнение системы

.

Так как корни характеристического уравнения: , то существует такая невырожденная матрица линейного преобразования , которое приводит исходную систему к виду , где в данном случае матрица имеет вид

.

Тогда относительно переменных и можно записать следующую систему дифференциальных уравнений в виде

. (*)

Решение системы будет

(**)

Система уравнений (*) не изменится при одновременной замене на и на , поэтому фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат. Таким образом, достаточно изучить поведение фазовых траекторий только в верхней полуплоскости ( ).

В нижней полуплоскости фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат.

Положительная и отрицательная полуоси являются фазовыми траекториями.

Для того чтобы получить уравнения фазовых траекторий исключим из уравнений (**) время.

, , ,





Если , то устойчивый вырожденный узел


Если , то не устойчивый вырожденный узел

Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейному дифференциальному уравнению кратны, то особая точка называется вырожденным узлом, при этом, если , то вырожденный узел устойчивый, если же , то вырожденный узел не устойчивый.
  • ^

    АЛГОРИТМ

  • исследования линейных систем автоматического управления методом фазовой плоскости.


  1. По структурной схеме системы автоматического управления получить передаточную функцию системы.

  2. Записать характеристическое уравнение системы автоматического управления.

  3. Решить характеристическое уравнение и определить тип особой точки.

  4. Составить математическую модель системы автоматического управления в форме системы дифференциальных уравнений.

  5. Установить, есть ли среди фазовых траекторий траектории, являющиеся прямыми линиями

  6. Выполнить преобразование дифференциальных уравнений системы автоматического управления к канонической форме записи и получить уравнение фазовых траекторий.

  7. Построить фазовый портрет системы автоматического управления.


  • ПРИМЕР. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке




Определить тип особой точки системы. Составить уравнение фазовых траекторий.

РЕШЕНИЕ. Уравнения динамики системы

,

.

Матрица динамики системы

.

Характеристический полином системы:

.

Корни характеристического полинома , .

Особая точка устойчивый узел.

Для того, чтобы получить уравнения фазовых траекторий, преобразуем исходную схему к канонической форме записи. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Следовательно, матрица динамики исходной системы преобразуется к диагональной. Найдем соответствующую матрицу преобразования. Имеем

,

Найдем собственный вектор матрицы , который соответствует .

,

,

( может быть любым) .

Найдем собственный вектор матрицы , который соответствует .

,

.

Второе уравнение выполняется при любых значениях и . Из первого уравнения получаем . Полагая имеем . Следовательно

.

Таким образом, матрица линейного преобразования имеет вид

,

а обратная к ней матрица

.

Тогда



В новых переменных { } уравнения динамики системы

.

Дифференциальные уравнения фазовых траекторий

.

Откуда получаем

.

Определим постоянную интегрирования в зависимости от начальных условий. Имеем

, , ,

,

откуда

.

  • ПРИМЕР. Структурная схема системы автоматического управления имеет вид, показанный на рисунке




Определить тип особой точки системы. Составить уравнение фазовых траекторий.

РЕШЕНИЕ. Уравнения динамики системы



Матрица динамики системы:

.

Характеристический полином системы

.

Корни характеристического полинома , кратность корня равна двум. Особая точка: устойчивый вырожденный узел.

Так как корни характеристического уравнения кратны, то каноническая форма записи матрицы –жорданова. Найдем матрицу этого преобразования. Последовательно получаем:

,

, ,

,

, ,

, ,

,



,

, ,

,

, .

Так как столбцы матрицы - это собственные векторы матрицы , то



В новых переменных { } уравнение динамики системы

,

.

Уравнение фазовых траекторий:

, .

  • ^

    Влияние параметров системы управления на тип особой точки. Бифуркация.



Рассматривается линейная система автоматического управления, собственное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями



где ; начальные условия , считаются заданными.

Характеристическое уравнение системы

.

Координаты особой точки . В зависимости от корней характеристического уравнения определяется тип особой точки – характер собственных движений системы в окрестностях особой точки. В характеристическом уравнении системы



обозначим , . Тогда характеристическое уравнение перепишется следующим образом

.

Корни характеристического уравнения вычисляются согласно равенства

.

В плоскости параметров системы и можно выделить области, занимаемые различными типами состояния равновесия (типами особых точек см. рисунок).



Парабола отделяет колебательные движения системы от апериодических (фокусы - узлы); – седла. Центры занимают пограничную линию между устойчивыми и неустойчивыми фокусами.

При изменении параметров системы качественные свойства особой точки (тип особой точки) изменяются.

Изменение типа особой точки системы при изменении значений ее параметров называется БИФУРАКЦИЕЙ.

Из рисунка видно, как может меняться тип особой точки при изменении значения того или иного параметра системы ; : неустойчивый фокус  центр  устойчивый фокус  устойчивый узел.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического
Кроме этого широкое применение в теории цифровых систем нашли методы, которые используют аппарат передаточных функций

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск