Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования






Скачать 124.63 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования
Дата публикации04.12.2014
Размер124.63 Kb.
ТипРешение
top-bal.ru > Математика > Решение




Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2003 год.

Устойчивость линейных стационарных дискретных систем.




Дискретная система может быть работоспособной, т.е. выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают. Такая система называется асимптотически устойчивой. Собственное движение системы, математическая модель которой описывается разностным уравнением вида

(1)

задается системной функцией

, (2)

где , , … , - корни характеристического уравнения (для простых корней)

(3)

разностного уравнения (1); , , … , - постоянные величины, зависящие от начальных условий.

Очевидно, что системная функция стремится к нулю, если все корни характеристического уравнения (3) имеют модуль меньше единицы.

Математической моделью многомерной линейной дискретной системы является векторное разностное уравнение

. (4)

Решение этого уравнения при имеет вид

. (5)

Из курса линейной алгебры известно, что всякую матрицу с простыми собственными значениями можно привести к виду , , где - диагональная матрица, - невырожденная матрица, , , … , - корни характеристического многочлена

(6)

матрицы . В этом случае выражение (5) имеет вид

. (7)

Так как возведение в степень диагональной матрицы соответствует возведению в ту же степень ее диагональных элементов, т.е. , то условием стремления к нулю собственного движения системы (4) является то, что все корни характеристического уравнения (5) имеют модуль меньше единицы. Можно доказать, что эти условия справедливы и для общего случая кратных корней характеристического уравнения.

Таким образом, для того, чтобы дискретная стационарная линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения имели корни, модуль которых был меньше единицы.

Иными словами, для асимптотически устойчивости дискретной стационарной линейной системы необходимо и достаточно, чтобы корни ее характеристического уравнения были бы расположены внутри единичной окружности на комплексной плоскости (рис. 1).


Вычисление корней многочленов (3), (6) для дискретных систем высокого порядка представляет весьма трудоемкую и сложную вычислительную задачу. При высоких степенях этих многочленов найти их корни (нули) в аналитической форме принципиально невозможно. Однако для суждения об устойчивости дискретной системы нет необходимости непосредственно вычислять корни характеристического уравнения, а достаточно определить лежат ли все они внутри круга единичного радиуса на комплексной плоскости . Излагаемые ниже критерии устойчивости линейных моделей дискретных систем позволяют проводить анализ их устойчивости без непосредственного вычисления корней .

^ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.
Критерий устойчивости Шура – Кона.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости дискретных систем по коэффициентам их характеристического уравнения

. (8)

Проверка расположения нулей уравнения (8) с комплексными коэффициентами относительно круга может быть проведена с помощью критерия Шура - Кона.

Составим из коэффициентов систему определителей:

,

(9)

где - величина комплексно-сопряженная .

Если для многочлена (8) все определители , то не имеет нулей на окружности , а число нулей внутри круга равно числу перемен знака в последовательности

, , , … , . (10)

Таким образом, формулировка критерия Шура - Кона следующая.

Для того, чтобы модель дискретной системы была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы число перемен знаков в последовательности (10) равнялась степени n характеристического уравнения (8), т.е. может быть записан в виде , если - четное; , если - нечетное.

Пример. Рассмотрим характеристическое уравнение второго порядка

. Имеем

,

.

Таким образом, условие устойчивости сводится к выполнению следующих неравенств, выраженных через коэффициенты характеристического уравнения

, .

Для систем более высокого порядка соответствующие соотношения могут быть записаны аналогичным образом. Однако, как следует из вышеизложенного, в вычислительном отношении использование критерия Шура - Кона для систем высокого порядка весьма громоздко, так как связано с необходимостью расчета определителей матриц размерностей до включительно.

Аналог критерия Гурвица.

Более простое решение задачи определения устойчивости дает другой алгебраический критерий, являющийся аналогом критерия устойчивости Гурвица для непрерывных систем. В основу метода заложено дробно-линейное конформное отображение

, . (11)

Известно, что дробно - линейное конформное преобразование отображает окружность плоскости в окружность на плоскости (считая, что прямая является окружностью бесконечно большого радиуса). Для преобразования (11) такое отображение показано на рис. 2, одинаковыми значками на нем отмечены соответствующие точки плоскостей и , следовательно, преобразование осуществляет конформное отображение замкнутой области комплексной плоскости в левую полуплоскость комплексной плоскости .

Следовательно, условие расположения корней характеристического уравнения (8) внутри единичного круга на плоскости совпадает с условием расположения корней выражения

. (12)



в левой полуплоскости плоскости . Поэтому условия устойчивости для систем с дискретным временем оказываются точно совпадающими с критерием Гурвица применительно к характеристическому многочлену (12).

Формулировка критерия Гурвица для дискретных систем следующая. Для того, чтобы модель дискретной системы была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры определителя Гурвица для уравнения (12)

.

удовлетворяли неравенствам , .

В этом случае требуется вычислять определители порядка не выше, чем , что проще, чем при использовании критерия Шура - Кона.

Пример. Записать условия устойчивости для характеристического уравнения второго порядка . После дробно-линейного преобразования имеем

,

.

a0(1+w)2+a1(1-w2)+a2(1-w)2=((a0-a1+a2)w2+2(a0-a2)w+(a0+a1+a2))/(1-w)2=0. Определитель Гурвица равен



и условия устойчивости имеют вид

, , .
ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ.
Критерий устойчивости Михайлова.

^

Разложим характеристический многочлен (8) на множители


. (13)

Изменение аргумента характеристического многочлена равно

. (14)

Выберем точку на единичной окружности плоскости (на рис.3 показана светлым кружком) и будем изменять параметр от до , т.е. перемещать эту точку по окружности. Параметр имеет смысл безразмерной частоты. Тогда каждый вектор , соответствующий корню расположенному внутри единичного круга изменит свой аргумент на величину , а каждый вектор , соответствующий корню расположенному вне единичного круга изменит свой аргумент на величину . Если характеристическое уравнение (8) имеет корней вне единичного круга и корней внутри единичного круга, то из выражения (14) имеем



. (15)

Для устойчивой системы , поэтому условие устойчивости дискретной системы эквивалентно выполнению равенства

. (16)

Изобразим на комплексной плоскости кривую , являющуюся годографом Михайлова для замкнутой дискретной системы с характеристическим уравнением (8). В силу симметрии кривой относительно действительной оси для значений и при построении годографа можно ограничиться интервалом частот , тогда условие устойчивости (16) принимает вид

. (17)



На рис.4 приведены кривые годографов Михайлова для устойчивых дискретных систем порядков , и . Согласно выражению (17) критерий устойчивости Михайлова для дискретных систем может быть сформулирован следующим образом.

Замкнутая дискретная система асимптотически устойчива тогда и только тогда когда при возрастании от до число полуоборотов годографа Михайлова на комплексной плоскости относительно начала координат в положительном направлении (против часовой стрелки) равнялась степени характеристического уравнения системы.

Возможна еще одна формулировка критерия устойчивости Михайлова для дискретных систем.

Замкнутая дискретная система асимптотически устойчива, если действительная и мнимая части годографа Михайлова в интервале частот от 0 до имеют n перемежающихся нулей, и при и имеют одинаковые знаки (рис. 5).


Критерий устойчивости Найквиста.

Этот критерий устойчивости основан на изучении частотной характеристики разомкнутой системы. Его формулировка для дискретных систем практически дословно совпадает с формулировкой критерия устойчивости Найквиста для непрерывных систем.


Рассмотрим вспомогательную функцию

, при . (18)

В выражении (18) есть характеристический многочлен разомкнутой системы, а - характеристический многочлен замкнутой единичной обратной связью системы. Ввиду того, что степень числителя передаточной функции разомкнутой системы не более степени ее знаменателя, степени многочленов и одинаковы и равны . Предположим, что система в разомкнутом состоянии является неустойчивой и ее характеристический многочлен имеет корней вне единичного круга.Все корни характеристического уравнения замкнутой единичной отрицательной обратной связью устойчивой расположены внутри единичного круга на плоскости . Поэтому из выражения (18) с учетом равенств (15) и (16) , принимая во внимание симметрию годографа Михайлова, получаем

. (19)

Из полученного соотношения следует, что, если система в замкнутом состоянии устойчива, то годограф функции при изменении от до охватывает начало координат раз. Так как частотная характеристика разомкнутой системы связана с функцией соотношением , то получаем следующую формулировку критерия Найквиста для дискретных систем.

Для того, чтобы замкнутая дискретная система, неустойчивая в разомкнутом состоянии и содержащая полюсов передаточной функции разомкнутой системы вне единичного круга на комплексной плоскости , была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики разомкнутой системы охватывал в положительном направлении раз точку при изменении частоты в диапазоне от до .

В частном случае, когда разомкнутая система устойчива (т.е. ), формулировка критерия Найквиста следующая.

Для того, чтобы замкнутая дискретная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы годограф частотной характеристики разомкнутой системы при изменении частоты в диапазоне от до не охватывал точку .



Соответствующие годографы частотных характеристик разомкнутых дискретных устойчивых в замкнутом состоянии систем для случаев , , представлены на рис. 6.

С помощью критерия устойчивости Найквиста можно исследовать устойчивость и в тех случаях, когда передаточная функция разомкнутой системы содержит полюса на единичной окружности. Для этого следует несколько изменить контур обхода особых точек. Рассмотрим только один случай, когда передаточная функция разомкнутой системы имеет один полюс кратности . Представим передаточную функцию разомкнутой системы в виде

,

где не имеет полюса . Выберем в качестве контура обхода в плоскости комплексной переменной контур, состоящий из единичной полуокружности , , и дугу бесконечно малого радиуса, охватывающую особую точку , , (рис. 7). На окружности функция принимает следующий вид .



Полагая, что где - постоянное число, получим

,

ч
R

Im z

-1

=3

=2

=1

=

=
то соответствует окружности бесконечно большого радиуса, дополняющей годограф
при малых значениях . Примеры таких годографов для , и приведены на рис. 8. Критерий устойчивости замкнутой системы следует применять к этим годографам с учетом того, что полюс лежит внутри контура обхода в плоскости комплексной переменной . Если, в частности, передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов вне единичного круга, то замкнутая система устойчива в случае, когда годограф , дополненный окружностью бесконечно большого радиуса, ни разу не охватывает точку . Отсюда следует, что годографы, изображенные на рис. 8 соответствуют устойчивой замкнутой системе (при устойчивой разомкнутой системе) при и .



Если годограф Найквиста для совершает несколько переходов через вещественную ось, то для определения устойчивости замкнутой системы следует использовать следующее правило.

^ Дискретная система устойчива в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов годографом вещественной оси на отрезке равна , где - число полюсов передаточной функции разомкнутой системы вне единичного круга (при изменении от до положительным считается переход сверху вниз, а отрицательным снизу вверх).

Критерий Михайлова и Найквиста для псевдочастотных характеристик.

В инженерной практике широкое применение находят способы исследования дискретных систем на основе логарифмических псевдочастотных характеристик. Формулировки этих критериев аналогичны формулировкам частотных критериев устойчивости для логарифмических частотных характеристик непрерывных систем.


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического
Кроме этого широкое применение в теории цифровых систем нашли методы, которые используют аппарат передаточных функций

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического
Дискретность сигналов в цифровых системах обусловлена их квантованием по уровню и по времени. В противоположность непрерывным сигналам,...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск