Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения






Скачать 422.2 Kb.
НазваниеМетодические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения
страница1/5
Дата публикации13.01.2015
Размер422.2 Kb.
ТипМетодические указания
top-bal.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3   4   5
Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Дифференциальные уравнения
Методические указания и контрольная работа № 4

для студентов 2-го курса заочной формы обучения

технических специальностей

Санкт-Петербург

2013

Составители: Ю.А.Гусман, А.О.Смирнов
Рецензенты: доктор физ.-мат. наук, профессор В.Г.Фарафонов

Методические указания и контрольная работа № 4 предназначены для студентов 2-го курса заочной формы обучения технических специальностей
Излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений; приведены варианты соответствующих контрольных заданий. Даны образцы выполнения типового контрольного задания.

Подготовлены к публикации кафедрой высшей математики и рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом

Санкт-Петербургского государственного университета

аэрокосмического приборостроения.




Редактор

Верстальщик

Сдано в набор Подписано к печати

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл.-печ. Л.

Уч.- изд. Л. Тираж экз. Заказ №

Редакционно-издательский центр ГУАП

190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., д. 67

ۭ © ГУАП, 2013

^ Общие методические указания

Общий курс математики является фундаментом математического образования. Его изучение необходимо для успешного усвоения в дальнейшем общенаучных и специальных дисциплин.

Основной формой обучения студента заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь студентам-заочникам в университете организовано чтение лекций и практические занятия. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача экзаменов. Курс высшей математики (математика – 1) изучается студентами младших курсов. В первом семестре студенты сдают два экзамена: первый – по линейной алгебре и аналитической геометрии; второй – по дифференциальному и интегральному исчислению одной переменной. Во втором семестре студенты изучают теорию рядов, функций нескольких переменных, двойные и криволинейные интегралы. В третьем семестре студенты изучают курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для изучения теоретического материала и решения задач по этой тематике рекомендуется следующая литература:

  1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.Берман // «Лань», 2005. 608 с.

  2. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С.Пискунов // М.:Интеграл – Пресс, 2009. 544 с.

  3. Филиппов, А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений / А.Ф.Филиппов // М.: КомКнига, 2010. 240 с.

  4. Системы дифференциальных уравнений: учебное пособие / М.В.Макарова СПб. ГУАП, 2009. 76 с.

  5. Дифференциальные уравнения: методические указания к выполнению индивидуального задания / Ю.А. Гусман, Г.М.Головачев, А.О. Смирнов //СПб.: ГУАП, 2008. 119 с.

В процессе изучения курса высшей математики студенты должны выполнить на первом курсе 3 контрольные работы, на втором курсе – четвертую контрольную работу. Данное пособие посвящено обыкновенным дифференциальным уравнениям; выполнение 4-й контрольной работы покажет степень усвоения этой темы.

^ Указания по выполнению контрольных работ

Студент должен выполнять контрольные работы по заданным задачам конкретного варианта, номер которого получается из следующей формулы: следует разделить номер учебного шифра на 20, остаток от деления – номер варианта (если остаток 0, то номер варианта – 20).

При оформлении и выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы должны быть ясно написаны фамилия студента, инициалы, номер студенческого билета, шифр, номер контрольной работы и дата отсылки работы в университет.

2. Контрольная работа выполняется в тетради, а не на листах, обязательно чернилами или шариковой ручкой (но не красными) с полями для замечаний рецензента.

3. Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в контрольных работах; перед решением задачи должно быть записано полностью ее условие, исходя из данных своего варианта задания. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условие задачи, следует заменить общие данные конкретными из своего варианта.

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращений слов; чертежи можно выполнять от руки.

Получив из университета прорецензированную работу, студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, она должна быть в короткий срок либо выполнена заново целиком, либо должны быть заново решены задачи, указанные рецензентом. Зачтенные контрольные работы предъявляют преподавателю на экзамене.

^ Краткие теоретические сведения

В школьном курсе математики решается задача обратная задачи дифференцирования, т.е. если нам дана функция f(x), то надо найти функцию F(x), так чтобы выполнялось равенство Функция F(x)называется первообразной (функцией) функции f(x) или

где С произвольная постоянная.

Кроме непосредственного нахождения первообразной, могла быть поставлена задача, чтобы из полученного семейства кривых была выделена конкретная кривая, проходящая через заданную точку.

Забегая вперед, отметим, что мы решали сперва простейшее дифференциальное уравнение а потом удовлетворяли начальному условию (задача Коши).

Дадим формальные определения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержит производные неизвестных функций или их дифференциалы. Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Пусть x - независимая переменная и y - неизвестная функция этой переменной. Дифференциальное уравнение общего вида n–ого порядка имеет вид:



Наивысший порядок производных неизвестной функции называется порядком дифференциального уравнения.



1. Дифференциальные уравнения первого порядка

    1. Теоремы существования и единственности

Запишем дифференциальное уравнение общего вида 1–ого порядка

(1.1)

Введем основные понятия.

Функция называется решением уравнения (1.1), если оно обращается в тождество относительно x при подстановке в уравнение.

Решение уравнения (1.1) при дополнительном условии

(1.2)

называется решением задачи Коши данного уравнения.

Само условие (1.2) называется начальным условием.

Общим решением дифференциального уравнения (1.1) называется функция (1.3)

где с = произвольная постоянная, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. при любом фиксированном значении с функция (1.3) является решением уравнения (1.1);

  2. каково бы ни было начальное условие (1,2) всегда можно подобрать значение постоянной с так, чтобы функция (1.3) удовлетворяло этому условию.

Частным решением (1.1) называется любое решение этого уравнения, полученное из общего решения (1.3) при фиксированном значении произвольной постоянной с.

Общее решение (1.3), заданное в неявном виде, то есть

называется общим интегралом уравнения (1.1); частное решение, заданное в неявном виде, называется частным интегралом уравнения (1.1).

Рассмотрим частный случай уравнения (1.1) уравнение, разрешенное относительно производной, то есть

(1.4)

Для уравнений вида (1.4) справедлива теорема существования и единственности.

Пусть f(x,y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную по y в открытой области B, лежащей в плоскости XOY и содержащей точку (x0.,y0) Тогда уравнение (1.4) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию (1.2).

Сформулируем основные методы нахождения общих или частных решений (общих или частных интегралов) (1.4).

    1. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Всякое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, может быть приведено к виду

(1.5)

Если уравнение (1.5) имеет вид

или (1.6)

то мы имеем (во втором случае) равенство дифференциалов разных переменных (переменные разделены), и, интегрируя, получаем общее решение или общий интеграл.

Уравнение вида (1.6) называется уравнением с разделенными переменными.

Пример 1.2.1

Решить уравнение

Решение.

Данное уравнение с разделенными переменными, поэтому, интегрируя, получаем общее решение.



Ответ.

Если уравнение (1.5) имеет вид

(1.7)

то оно называется уравнением с разделяющимися переменными и после соответствующего деления приводится к уравнению с разделенными переменными.



Пример 1.2.2

Найти решение уравнения

удовлетворяющее условию y(0)=1.

Решение.

Данное уравнение с разделяющимися переменными, поэтому, разделив переменные и интегрируя, получаем общее решение.



В полученный общий интеграл подставляем начальные условия и находим произвольную постоянную.



Следовательно, частный интеграл, решающий данную задачу Коши, имеет вид: 3x2+2x3-3y2-2y3+5=0.

Ответ. 3x2+2x3-3y2-2y3+5=0.

Уравнение с разделяющимися переменными вида:

называется автономным.

Пример 1.2.3

Известно, что рост количества бактерий в сосуде удовлетворяет уравнению логистики с постоянной k=pm=0,2. Пусть в начальный момент времени количество бактерий составляло 1% от максимально возможного значения m. За какое время количество бактерий достигнет 80% от максимального?

Решение.

Уравнением снабжения или логистики называется уравнение вида



Подставим в уравнение данные из условия задачи и получим



Интегрируем и, используя условие y


Пользуясь начальным условием y=0,01m при t=0, находим значение c и подставляем его в решение:



Теперь найдем значение t, при котором y=0,8m:



Ответ. t=29,91.

    1. Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если она зависит только от отношения т.е.

Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида (1.8)

Введем новую неизвестную функцию, положив или y=tx.

Дифференцируя, получим

Подставив в уравнение (1.8), преобразуем его к виду



Разделяя переменные и интегрируя, найдем

или



После выполнения интегрирования нужно вернуться к функции y, положив

Пример 1.3.1

Решить уравнение

Решение.

Разрешая уравнение относительно производной, получим



Обозначив получим



Разделяя переменные и интегрируя, получаем



Ответ.

    1. Линейные уравнения

Линейным уравнением называется уравнение вида

(1.9)

Если правая часть равна нулю, уравнение (1.9) называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным.

Будем искать решение (1.9) в виде y(x)=u(x)v(x), причем в качестве v(x) возьмем любое (частное) решение однородного линейного уравнения

(1.10)

Интегрируя данное уравнение с разделяющимися переменными и полагая произвольную постоянную равную единице, получим



Решение (1.9) ищем в виде

Изложенный метод решения называется методом Лагранжа, или методом вариации произвольной постоянной (изменения произвольной постоянной).

Подставляя y(x) в (1.9), находим u(x) и тогда

(1.11)

Пример 1.4.1

Решить уравнение

Решение.

Подставляя в (1.11), получим



Ответ.

    1. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(1.12)

Данное нелинейное уравнение при приводится к линейному заменой

Пример 1.5.1

Решить уравнение

Решение.

Сделаем замену переменной

Тогда искомое уравнение перепишется в виде



Полученное линейное уравнение решаем по формуле (1.11)



Делая обратную замену, получаем:



Ответ.
  1   2   3   4   5

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов,...
Учебные планы студентов заочной формы обучения указанного направления и профилей предусматривают выполнение одной контрольной работы...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов заочной формы обучения
Только при соблюдении всех этих условий контрольная работа будет способствовать расширению кругозора и повышению уровня подготовки...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания по выполнению контрольных работ для студентов...
Данные методические указания по выполнению контрольных работ по иностранному языку (английскому, немецкому, французскому) предназначены...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания к контрольной работе для студентов заочной...
Оптоэлектронные и квантовые приборы и устройства: методические указания к контрольной работе для студентов заочной формы обучения/...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольных...
Методические указания и задания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Макроэкономика»

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания и контрольные задания по английскому языку...
Методические указания и контрольные задания по английскому языку для студентов заочной формы обучения всех специальностей /Сост....

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания и контрольные задания по дисциплине Линейная...
Бикбулатова Г. С. Линейная алгебра. Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения. Уфа: уи ргтэу,...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconКонтрольная работа по курсу «Экономика» предназначена для студентов...
«Судовождение», направления 180100 «Кораблестроение, океанотехника системотехника объектов морской инфраструктуры», 140400 «Электроэнергетика...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconМетодические указания к изучению дисциплины для студентов заочной...
Теоретические основы электротехники: методические указания к изучению дисциплины для студентов заочной формы обучения специальности...

Методические указания и контрольная работа №4 для студентов 2-го курса заочной формы обучения iconПрограмма, методические указания и задания для контрольной работы...
Программа, методические указания и задания для выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения составлены в соответствии...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск