Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования






Скачать 370.9 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования
страница1/4
Дата публикации16.01.2015
Размер370.9 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4


Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана

ПУЗАНОВ В. П.

ЛЕКЦИИ
ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2004 год.
ТИПЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК И ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ

ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения вида

µ § . (1)

Определим координаты особой точки. Для этого надо решить систему линейных алгебраических уравнений

µ § (2)

относительно неизвестных µ § и µ §. При условии, что матрица

µ §

не вырождена, т.е. µ §, система линейных уравнений (2) имеет единственное решение µ §, µ §. На фазовой плоскости это соответствует началу координат. Следовательно, линейная система имеет единственную особую точку, которая совпадает с началом координат фазовой плоскости µ §.

Дифференциальное уравнение для фазовых траекторий имеет вид

µ § (3)

Замечание. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

µ § (4)

можно привести к виду (1) следующим образом. Введем обозначения µ §, тогда µ §. Разрешим уравнение (4) относительно старшей производной

µ § .

Тогда с учетом принятых обозначений имеем

µ § . (5)

Сравнивая (1) и (5), видим, что

µ § .

В зависимости от корней характеристического уравнения линейной системы различают следующие типы особых точек линейных автоматических систем.

Корни характеристического уравнения ЁC чисто мнимые.
Пусть динамика системы автоматического управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений

µ § . (6)

Начальные условия для системы уравнений (6) µ § и µ § считаем заданными. Систему дифференциальных уравнений (6) в векторно-матричной форме записи можно записать следующим образом

µ § . (7)

Из уравнений (6) или (7) следует, что матрица динамики µ § заданной автоматической системы имеет вид

µ § . (7)

Запишем характеристический полином матрицы µ §

µ § ,

µ § . (8)

Решением уравнения (8) являются комплексные числа вида µ §.

Поделим второе уравнение системы (6) на первое уравнение

µ § . (9)

Уравнение (9) является дифференциальным уравнением фазовых траекторий системы, которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим это уравнение

µ § , (10)

µ § ,

µ § , (11)

где µ § ЁC постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования µ § в (11) выбирается из заданных начальных условий µ §, µ § согласно равенству

µ § . (12)

С учетом равенства (12) уравнение (11) преобразуем к виду

µ § (13)

Из уравнения (13) следует, что в рассматриваемом случае фазовые траектории представляют собой эллипсы с центром в начале координат фазовой плоскости и полуосями µ § и µ §. Это семейство эллипсов при µ § показано на рисунке 1.

Рис. 1.

Исследуем направление движения изображающей точки по фазовой плоскости. В верхней полуплоскости µ §, а это означает, что в соответствии с первым уравнением системы (6), µ §. Поэтому при µ § с течением времени численное значение фазовой переменной µ § уменьшается, движение изображающей точки происходит против часовой стрелки. В нижней полуплоскости µ §, а это означает, что в соответствии с первым уравнением системы (6), µ §. Поэтому при µ § с течением времени численное значение фазовой переменной µ § увеличивается, движение изображающей точки происходит против часовой стрелки. Фазовый портрет исследуемой системы для µ § представлен на рисунке 2.

Рис. 2.

На рисунках 3 и 4 соответственно представлены графики изменения во времени фазовых переменных µ § и µ §, которые соответствуют фазовым траекториям, изображенных на рисунке 2.

Рис. 3.

Рис. 4.
Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего дифференциального уравнения являются чисто мнимыми числами µ §, то фазовые траектории представляют собой концентрические эллипсы с центром в начале координат, а особая точка называется центром.

Корни характеристического уравнения ЁC комплексно-сопряженные.
Пусть динамика системы автоматического управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений

µ § . (14)

Начальные условия для системы уравнений (14) µ § и µ § считаем заданными. Систему дифференциальных уравнений (14) в векторно-матричной форме записи можно записать следующим образом

µ § . (15)

Из уравнений (14) или (15) следует, что матрица динамики µ § заданной автоматической системы имеет вид

µ § . (16)

Запишем характеристический полином матрицы µ §

µ § ,

µ § . (17)

Решением уравнения (17) являются комплексно-сопряженные числа вида µ §.

Решим систему дифференциальных уравнений (14) в предположении, что корни соответствующего характеристического уравнения комплексно-сопряженные числа. Воспользуемся методом, который известен из курса «Высшая математика» (Обыкновенные дифференциальные уравнения). Первое решение системы (14) ищем в виде

µ § , µ § , (18)

где величины µ § и µ § подлежат определению. После подстановки µ § и µ § в систему уравнений (14) и сокращения обеих частей полученных равенств на µ § получим систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов µ § и µ §

µ § . (19)

Определитель полученной линейной однородной системы алгебраических уравнений равен нулю, поэтому система имеет нетривиальное решение

µ § , µ § .

Таким образом,

µ § , (20)

µ § . (21)

Для второго решения

µ § , µ §

аналогичным образом получаем

µ § , (22)

µ § . (23)

Общее решение системы дифференциальных уравнений (14) будет иметь вид

µ § , µ §

Последние равенства с учетом формул (20) ЁC (23) и того, что

µ § , µ §

преобразуются следующим образом

µ § ,

(24)

µ § .

Постоянные интегрирования µ § и µ § в равенствах (24) определяются заданными начальными условиями µ § и µ §.

Дальнейшие исследования линейных систем управления, корни характеристических уравнений которых являются комплексно-сопряженными числами вида µ §, проведем на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть динамика автоматической системы описывается следующими дифференциальными уравнениями

µ § (25)

Характеристическое уравнение, которое соответствует системе дифференциальных уравнений, имеет вид

µ § ,

µ § , (26)

а его корни равны

µ § . (27)

На рисунках 5 и 6 представлены процессы в исследуемой системе, которые соответствуют следующим начальным условиям µ § и µ §.

Рис. 5.
Рис. 6.
В соответствии с графиками, представленными на рисунках 5 и 6, фазовая траектория имеет вид, показанный на рисунке 7.

Рис. 7.
Движение изображающей точки будет происходить по часовой стрелке. Из приведенных графиков следует, что процессы в исследуемой автоматической системе носят затухающий колебательный характер. Процессы в системе сходятся к состоянию равновесия (началу координат на фазовой плоскости).

На рисунке 8 представлен фазовый портрет системы без указания направления движения изображающей точки. На рисунке 9 представлен фазовый портрет системы, на котором указаны направления движения изображающей точки. Процессы в системе, которые соответствуют показанным фазовым траекториям изображены ни рисунках 10 и 11.

Рис. 8.

Рис 9.

Рис. 10.

Рис. 11.
Пример 2. Пусть динамика автоматической системы описывается следующими дифференциальными уравнениями

µ § (28)

Характеристическое уравнение, которое соответствует системе дифференциальных уравнений, имеет вид

µ § ,

µ § , (29)

а его корни равны

µ § . (30)

На рисунках 12 и 13 представлены процессы в исследуемой системе, которые соответствуют следующим начальным условиям µ § и µ §.

Рис. 12.

Рис.13.

В соответствии с графиками, представленными на рисунках 12 и 13, фазовая траектория имеет вид, показанный на рисунке 14.

Рис. 14.
Движение изображающей точки будет происходить по часовой стрелке. Из приведенных графиков следует, что процессы в исследуемой автоматической системе носят незатухающий колебательный характер. Процессы в системе расходятся от состояния равновесия (от начала координат на фазовой плоскости).

На рисунке 15 представлен фазовый портрет системы без указания направления движения изображающей точки. На рисунке 16 представлен фазовый портрет системы, на котором указаны направления движения изображающей точки. Процессы в системе, которые соответствуют показанным фазовым траекториям изображены ни рисунках 17 и 18.

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 18.
Вывод. Если корни характеристического уравнения соответствующего линейного дифференциального уравнения являются комплексно-сопряженными µ §, то фазовые траектории представляют собой спирали с центром в начале координат, а особая точка ЁC называется фокусом. При этом, если µ §, то фокус ЁC устойчивый ЁC изображающая точка стремится к началу координат, точке равновесия; если µ §, то фокус неустойчивый, изображающая точка удаляется от начала координат, система неустойчива.

Корни характеристического уравнения действительные, различные и одного знака.
Рассмотрим систему автоматического управления, динамика которой описывается системой дифференциальных уравнений

µ § . (31)

Для системы уравнений (31) матрица динамики системы управления имеет вид

µ § , (32)

а характеристическое уравнение будет

µ § ,

µ § ,

µ § . (33)

Рассмотрим простейший частный случай: в уравнениях (31) µ §.Тогда уравнение (31) принимает вид

µ § . (34)

Матрица динамики системы (32):

µ § , (35)

а характеристическое уравнение (33)

µ § . (36)

Из уравнения (36) следует, что корни характеристического уравнения равны

µ § , µ § . (37)

Следовательно, коэффициенты µ § и µ § динамики системы (34) в этом случае являются корнями характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений (34). Тогда систему уравнений (34) можно переписать следующим образом

µ § (38)

Форма записи уравнений динамики системы управления в виде (38) называется канонической диагональной формой (матрица динамики системы ЁC диагональная)

µ § , (39)

Из уравнений (38) получим дифференциальные уравнения фазовых траекторий

µ § . (40)

Это линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, последовательно получаем

µ § ,

µ § ,

µ § . (41)

Получили в явном виде уравнения фазовых траекторий. Так как по условию корни характеристического уравнения действительны, различны и одного знака (µ §), то это ЁC уравнение парабол.

Есть ли среди фазовых траекторий траектории, которые являются прямыми, проходящими через начало координат (особую точку)?

Пусть µ § ЁC уравнение прямой, проходящей через начало координат, тогда µ §. С учетом последних равенств уравнение (40) принимает вид

µ §

откуда получаем µ §, µ §. А это значит, что прямая µ § (координатная ось µ §) является фазовой траекторией.

Рассмотрим теперь случай, когда уравнение фазовых траекторий имеет вид

µ § (42)

и, аналогично предыдущему, считаем µ §, µ §. Тогда из (42) получаем

µ § ,

µ § , µ §.

Прямая µ § (координатная ось µ §) также является фазовой траекторией.

Следовательно, есть две прямые, которые являются фазовыми траекториями ЁC это в данном случае ЁC координатные оси.

На рисунке 19 показаны фазовые траектории без указания направлений движения изображающих точек для системы уравнений (38), когда µ § и µ §.


Рис. 19.
На рисунке 20 показаны фазовые траектории с указанием направлений движения изображающих точек для системы уравнений (38), когда µ § и µ §.

Рис. 20.
На рисунке 21 показаны фазовые траектории с указанием направлений движения изображающих точек для системы уравнений (38), когда µ § и µ §.
Рис. 21.
Как получить уравнения фазовых траекторий и построить фазовый портрет для системы управления, математическая модель которой задана системой уравнений (31)?

Для этой цели выполним замену переменных по формулам

µ § ,

µ § ,

или в векторно-матричной форме записи µ §,где µ § - невырожденная матрица этого преобразования µ §. Матрица µ § составлена из собственных векторов матрицы µ §. Так как справедливо следующее равенство µ §, то система исходных уравнений относительно новых переменных в векторно-матричной форме записи имеет вид µ §. Так как матрица µ § сформирована из собственных векторов матрицы µ §, а корни ее характеристического уравнения µ § и µ § действительны и различны, то матрица µ § является диагональной, то есть

µ § .

Это диагональная форма записи матрицы динамики системы управления, записанной относительно новых переменных состояния µ § и µ §. Следовательно, система уравнений (1) в новых переменных имеет вид

µ § ,

аналогичный системе уравнений (38) и уравнение фазовых траекторий системы будет

µ § .

Так как µ §, то можно получить уравнения фазовых траекторий относительно старых переменных состояния µ §. Здесь следует отметить, что замена переменных µ § не меняет координаты и тип особой точки.

Какое положение в плоскости µ § займут координатные оси µ §, которые являются фазовыми траекториями? Для этой цели из уравнений (1) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

µ § .

Так же как и раньше полагаем µ § (прямая, проходящая через начало координат).

µ § , µ § .

µ § .

Это квадратное уравнение относительно µ §. Решив его, найдем уравнения прямых, которые являются фазовыми траекториями в плоскости µ § (оси координат µ § и µ §). При замене системы координат ЁC изменяется угловая ориентация осей координат.

Вывод. Если корни характеристического уравнения для дифференциальных уравнений динамики системы управления действительны, различны и одного знака, то фазовые траектории параболы, а особая точка ЁC узел. При этом, если µ §, µ § - неустойчивый узел, а при µ §, µ § - устойчивый узел.

Пример 3. Для автоматической системы, динамика которой описывается следующей системой дифференциальных уравнений

µ § (43)

определить тип особой точки, построить фазовый портрет и представить графики процессов в автоматической системе.

Решение. Матрица динамики системы (43) имеет вид

µ § ,

а соответствующий системе уравнений характеристический полином равен

µ § ,

а его корни определяются как решение уравнения

µ § .

Решение последнего уравнения равно

µ § , µ § .

Так как корни характеристического уравнения для исследуемой системы действительные и различные, то систему дифференциальных уравнений (43) можно преобразовать с помощью линейного невырожденного преобразования к диагональной канонической форме записи. Найдем эту матрицу преобразования.

Как известно из курса «Высшая математика. Линейная алгебра» столбцы искомой матрицы µ § являются собственными векторами матрицы динамики µ § автоматической системы. Найдем собственные вектора матрицы µ §. Для этого необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений вида
  1   2   3   4

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск