Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования






Скачать 87.39 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования
Дата публикации20.01.2015
Размер87.39 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.



ЛЕКЦИИ




ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»



ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Подводные роботы и аппараты»


2003 год.

Устойчивость периодического решения.



Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

. (1)

Пусть найдены все значения , которые соответствуют периодическим решениям. Для того чтобы определить соответствует ли найденное периодическое решение автоколебаниям в нелинейных системах управления, нужно исследовать их на устойчивость. При практических расчетах исследование устойчивости периодического решения проводится гармонически линеаризованной системы используя критерии устойчивости, разработанные для линейных систем управления.

Применение критерия Михайлова для исследования устойчивости периодического решения.
Уравнение для построения кривой Михайлова получаем из характеристического уравнения (1) путем подстановки в него , т.е.



Выделим в последнем равенстве действительную и мнимую части

. (2)

Известно, что для случая периодического решения, т.е. при наличии пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении, кривая Михайлова проходит через начало координат, причем в точке кривой совпадающей с началом координат, параметр равняется абсолютной величине мнимого корня – частоте периодического решения.

Дадим малое отклонение амплитуды . Вследствие чего изменятся коэффициенты в равенстве (2) и кривая Михайлова отклонится от начала координат в ту или другую сторону. Если кривая Михайлова займет положение (1) (см. рисунок), то, как известно из линейной теории управления, в системе будут затухающие колебательные процессы. Если кривая Михайлова займет положение (2) (см. рисунок), то как, известно из линейной теории управления, в исследуемой системе будут иметь место расходящиеся процессы – система неустойчива.



Вывод. Для устойчивости периодического решения, т.е. для возможности существования автоколебаний, требуется, чтобы при критерий Михайлова удовлетворялся, а при не удовлетворялся.
Аналитическая форма критерия устойчивости периодического решения.

Перемещение точки кривой Михайлова (2) при малом изменении можно характеризовать вектором с проекциями

, . (3)

Перемещение точки вдоль кривой Михайлова определяется вектором с проекциями

, . (4)

В обеих случаях звездочка соответствует подстановке конкретных значений и исследуемого периодического решения в частные производные от выражений и входящие в равенство (2). Эта подстановка соответствует начальному положению точки .

Пользуясь правами векторной алгебры, определим угол между векторами и

. (5)



Из рисунка видно, что если взять , то для выполнения условия устойчивости периодического решения требуется, чтобы вектор был отклонен от вектора против часовой стрелки при и по часовой стрелке при . Отсюда, согласно (5) следует

.

Поскольку величины и положительны (как длины векторов), то после подстановки (3) и (4), получим, что для устойчивости периодического решения требуется

<1> во - первых выполнение условия

. (6)

При этом производные и по , входящая в неравенство (6) удобно вычислять в виде

. (7)

<2> во - вторых, кроме выполнения условия (6) требуется, чтобы весь ход остальной части кривой Михайлова (за исключением одной точки в начале координат) как показано на рисунке, удовлетворял критерию Михайлова. Последнее условие надо специально проверять только для систем пятого порядка и выше. Для системы третьего и четвертого порядков это условие сводится к простому требованию положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы. Это соответствует тому, что в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы все остальные корни (кроме исследуемой нами пары чисто мнимых корней) имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен



удовлетворял критерию Михайлова.
Пример. Структурная схема системы автоматического управления представлена на рисунке





Определить параметры периодического решения. Исследовать устойчивость периодического решения.

Решение. Гармоническая линеаризация нелинейного звена дает следующие коэффициенты гармонической линеаризации:

, .

Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид

, (1)

Характеристическое уравнение

. (2)

Подстановка в уравнение (2) дает

. (3)

Из второго уравнения системы (3) получаем частоту периодического решения

, . (4)

Из первого уравнения системы (3) получаем

. (5)

Найти решение (амплитуду периодического решения) можно используя график функции так как показано на рисунке



Таким образом, определены параметры периодического решения .

Исследуем устойчивость периодического решения. Для этого надо найти производные и по и при и и исследовать знак выражения

, (*)

это можно установить из графика ,

, ,

.

Тогда выражение (*) имеет знак



Следовательно, (*) положительно. Проверим второе условие устойчивости периодического решения. Корни этого полинома



должны иметь отрицательные вещественные части. Поделим характеристический полином (2) на

.

Остаток от деления равен нулю (все верно!). Следовательно,

.

Корень последнего полинома

.

Второе условие критерия устойчивости выполняется. Поэтому выполняется критерий устойчивости периодического решения.

Вывод. Периодическое решение с параметрами устойчиво, следовательно в системе есть автоколебания с амплитудой и частотой .

Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости периодического решения.
Пусть характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид

,

где коэффициенты зависят от амплитуды и частоты . Пусть определены параметры периодических решений и . Выбираем значение и даем приращение амплитуде периодического решения .

Критерий устойчивости периодического решения, основанный на применении критерия Гурвица заключается в том, чтобы при характеристическое уравнение системы (1) удовлетворяло критерию Гурвица, а при удовлетворялись бы все условия Гурвица, кроме одного .



Напомним, что при т.е. для самого периодического решения . В аналитической форме этот критерий устойчивости периодического решения может быть представлен следующим образом.

Во-первых, необходимо, чтобы или

, (2)

где * - означает подстановку , соответствующая периодическому решению, устойчивость которого исследуется. При этом знак выражения (2) не должен меняться при малом отклонении в обе стороны от значения, которое соответствует исследуемому периодическому решению, если величина входит в коэффициенты гармонической линеаризации и .

Во-вторых. При значениях и , отвечающих исследуемому периодическому решению, должны быть положительными все остальные определители Гурвица за исключением определителя . Это условие эквивалентно тому, чтобы в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной системы все остальные корни {кроме исследуемой нами пары чисто мнимых} имели отрицательные вещественные части, т.е. чтобы многочлен удовлетворял критерию Гурвица.

Пример. Структурная схема системы автоматического управления представлена на рисунке





Определить параметры периодического решения. Исследовать устойчивость периодического решения.
^

Решение. Гармоническая линеаризация нелинейного звена дает следующие коэффициенты гармонической линеаризации


при и .

Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид

. (1)

Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы имеет вид

. (2)

Обозначим: , , , .

Составим матрицу Гурвица

.

Выпишем предпоследний определитель матрицы Гурвица

.

Условие равенства нулю дает или . Откуда получаем

. (3)

Второе условие для определения параметров периодического решения получим, если в уравнении (2) положить и выделить мнимую часть, приравняв ее нулю

. (4)

Из уравнения (4) получаем

, . (5)

Равенство (5) определяет значение частоты периодического решения. Решение уравнения (3) определяет амплитуды периодических решений. Его можно решить графически так, как показано на рисунке.



Из рисунка видно, что уравнение (3) имеет два решения и .

Критерий устойчивости. Первое условие или



,

,

,

следовательно, и критерий устойчивости не выполняется. Таким образом, периодическое решение неустойчиво – это не автоколебания.

,

следовательно .

Для проверим выполнение второго условия критерия устойчивости. Полином должен иметь все корни с отрицательными действительными частями. Для того чтобы претворить это условие разделим полином (3) на .

.

С учетом равенств (3) и (5) легко убедиться, что остаток равен нулю. В результате деления имеем

,

– корень отрицательный.

Следовательно, второе условие критерия устойчивости выполнено.

Вывод. Периодическое решение с параметрами устойчиво, а это значит, что в системе есть автоколебания с амплитудой и частотой .

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск