Скачать 87.39 Kb.
|
Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение»Кафедра «Подводные роботы и аппараты»2003 год. Устойчивость периодического решения.Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления ![]() Пусть найдены все значения ![]() ![]() Применение критерия Михайлова для исследования устойчивости периодического решения. Уравнение для построения кривой Михайлова получаем из характеристического уравнения (1) путем подстановки в него ![]() ![]() Выделим в последнем равенстве действительную и мнимую части ![]() Известно, что для случая периодического решения, т.е. при наличии пары чисто мнимых корней ![]() ![]() ![]() Дадим малое отклонение амплитуды ![]() ![]() Вывод. Для устойчивости периодического решения, т.е. для возможности существования автоколебаний, требуется, чтобы при ![]() ![]() Аналитическая форма критерия устойчивости периодического решения. Перемещение точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Перемещение точки вдоль кривой Михайлова определяется вектором ![]() ![]() ![]() В обеих случаях звездочка соответствует подстановке конкретных значений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пользуясь правами векторной алгебры, определим угол между векторами ![]() ![]() ![]() ![]() Из рисунка видно, что если взять ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку величины ![]() ![]() <1> во - первых выполнение условия ![]() При этом производные ![]() ![]() ![]() ![]() <2> во - вторых, кроме выполнения условия (6) требуется, чтобы весь ход остальной части кривой Михайлова (за исключением одной точки ![]() ![]() удовлетворял критерию Михайлова. Пример. Структурная схема системы автоматического управления представлена на рисунке ![]() ![]() Определить параметры периодического решения. Исследовать устойчивость периодического решения. Решение. Гармоническая линеаризация нелинейного звена дает следующие коэффициенты гармонической линеаризации: ![]() ![]() Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид ![]() Характеристическое уравнение ![]() Подстановка в уравнение (2) ![]() ![]() Из второго уравнения системы (3) получаем частоту периодического решения ![]() ![]() Из первого уравнения системы (3) получаем ![]() Найти решение (амплитуду периодического решения) можно используя график функции ![]() ![]() Таким образом, определены параметры периодического решения ![]() Исследуем устойчивость периодического решения. Для этого надо найти производные ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда выражение (*) имеет знак ![]() Следовательно, (*) положительно. Проверим второе условие устойчивости периодического решения. Корни этого полинома ![]() должны иметь отрицательные вещественные части. Поделим характеристический полином (2) на ![]() ![]() Остаток от деления равен нулю (все верно!). Следовательно, ![]() Корень последнего полинома ![]() Второе условие критерия устойчивости выполняется. Поэтому выполняется критерий устойчивости периодического решения. Вывод. Периодическое решение с параметрами ![]() ![]() ![]() Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости периодического решения. Пусть характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы имеет вид ![]() где коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Критерий устойчивости периодического решения, основанный на применении критерия Гурвица заключается в том, чтобы при ![]() ![]() ![]() ![]() Напомним, что при ![]() ![]() Во-первых, необходимо, чтобы ![]() ![]() где * - означает подстановку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Во-вторых. При значениях ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Структурная схема системы автоматического управления представлена на рисунке ![]() ![]() Определить параметры периодического решения. Исследовать устойчивость периодического решения. ^ ![]() ![]() ![]() Гармонически линеаризованное уравнение замкнутой системы имеет вид ![]() Характеристическое уравнение гармонически линеаризованной замкнутой системы имеет вид ![]() Обозначим: ![]() ![]() ![]() ![]() Составим матрицу Гурвица ![]() Выпишем предпоследний определитель матрицы Гурвица ![]() Условие равенства нулю ![]() ![]() ![]() ![]() Второе условие для определения параметров периодического решения получим, если в уравнении (2) положить ![]() ![]() Из уравнения (4) получаем ![]() ![]() Равенство (5) определяет значение частоты периодического решения. Решение уравнения (3) определяет амплитуды периодических решений. Его можно решить графически так, как показано на рисунке. ![]() Из рисунка видно, что уравнение (3) имеет два решения ![]() ![]() Критерий устойчивости. Первое условие ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() следовательно, ![]() ![]() ![]() следовательно ![]() Для ![]() ![]() ![]() ![]() С учетом равенств (3) и (5) легко убедиться, что остаток равен нулю. В результате деления имеем ![]() ![]() Следовательно, второе условие критерия устойчивости выполнено. Вывод. Периодическое решение с параметрами ![]() ![]() ![]() |
![]() | Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями | ![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... |
![]() | ... | ![]() | Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой... |
![]() | Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих... | ![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... |
![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | ![]() | Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения |
![]() | Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки... | ![]() | Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают.... |