Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования






Скачать 97.81 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования
Дата публикации21.01.2015
Размер97.81 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.



ЛЕКЦИИ




ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»



ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Подводные роботы и аппараты»


2003 год.
Устойчивость нелинейных управляемых систем.

Критерий В.-М. Попова.
Мы будем рассматривать собственные колебания нелинейной управляемой системы, описываемой следующими дифференциальными уравнениями

, ,

, (1)

,

где функция удовлетворяет условию

. (2)

Систему уравнений (1) можно переписать так

, . (3)

Если ввести матрицы

, , , (4)

и обозначить через оператор дифференцирования по времени, то есть , то можно заменить систему дифференциальных уравнений (3) векторным уравнением

, (5)

где через обозначена единичная матрица.

В дополнение к условию (2) будем считать, что функция такова, что её график не выходит из угловой области, показанной на рис. 1,то есть

. (6)



При условие (6) сводится к неравенству

.

При векторное уравнение (5) принимает вид

. (7)

Дифференциальному уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение

, (8)

где

. (9)

Случай, когда все корни характеристического уравнения (8) расположены на плоскости комплексного переменного левее мнимой оси, то есть

, ,

будем называть основным случаем. Ниже мы ограничемся рассмотрением лишь основного случая.

Систему уравнений (1) можно в векторной форме записать так

, , . (10)

Исключая x из уравнений (10), получим следующее уравнение

. (11)

Обозначим теперь

. (12)

Уравнение (11) примет вид

. (13)

Матрица может быть записана так

. (14)

Из выражения (14) видно, что функция представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.
^ Интерпретация функции .

Управляемой системе, собственные колебания которой описываются уравнениями (1), можно поставить в соответствие структурную схему, изображенную на рис. 2. Схема на рис. 2 представляет собой замкнутую управляемую систему, у которой в цепь обратной связи включен нелинейный элемент. Через обозначен входной сигнал системы.



Рассматриваемая система будет описываться уравнением

, (15)

откуда следует,что

. (16)

В частном случае, когда

, (17)

уравнение (16) принимает следующий вид

, (18)

или

. (19)

Так как согласно (14)

, (20)

то уравнение (19) можно переписать так

. (21)

Собственные колебания замкнутой управляемой системы при будут описываться однородным уравнением, которое получается из уравнения (21) при

. (22)

Характеристическое уравнение, соответсвующее дифференциальному уравнению (22), будет следующим

. (23)

В рассматриваемом здесь основном случае все нули полинома расположены в левой полуплоскости комплексного переменного . Поэтому для того, чтобы при замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой, то есть характеристическое уравнение (23) не имело корней В правой полуплоскости ,достаточно в соответствии с критерием Найквиста, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 3) , или годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис.4).



Так как функции удовлетворяют условию (6), то принадлежащие к этому классу линейные функции удовлетворяют условию , или

(24)



Поэтому для того, чтобы замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой при любой функции , где , необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис 5). В случае, когда , имеем , то есть запретной зоной будет интервал . Само начало координат в запретную зону не включается, ибо мы рассматриваем функции с любым, сколь угодно большим, но конечным значением .
Видоизмененная частотная характеристика.

Выше при помощи соотношения (14) была выведена функция



Разомкнем цепь обратной связи у системы, изображённой на рис.2. Разомкнутая система (рис.6) будет описываться уравнением

, (25)

где через обозначен сигнал, поданый на вход системы.

Как следует из уравнения (25), функция представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы, показанной на рис.6. В соответствии с выражением (14) частотная характеристика разомкнутой системы будет

. (26)

Введём теперь функцию , определяемую следующими соотношениями

, (27)

Таким образом, функция будет иметь вид

. (28)

Так как является четной функцией от , а является нечетной функцией от , то в соответствии с (27) функция будет четной функцией от и, таким образом,

. (29)



Функция называется видоизменённой частотной характеристикой.

Так как в соответствии с (14) функция представляет собой дробно-рациональную функцию, степень числителя у которой ниже степени знаменателя, то для будем иметь следующее выражение

, . (30)

В знаменателе выражения (30) коэффициент при равен единице, так как согласно (9) . Полагая , получим согласно (30), что

. (31)

Из выражения (31) следует, что

, . (32)

Умножая левую и правую части выражения (31) на , получим

. (33)

Учитывая, что в соответствии с (27)

,

найдем, что

, ,

и, следовательно

. (34)

Значение будет различным в случае, когда , и в случае, когда .

При , то есть при , будем согласно (31) и (33) иметь

, .

При будем иметь

, .

Таким образом,

.
Критерий устойчивости В. М. Попова.

Определение. Систему (1)

, ,

, (1)

,

тривиальное решение которой асимптотически устойчиво при любых видах функции , удовлетворяющих условию (6)

,

будем называть абсолютно устойчивой в угле .

Так как линейные функции , входят в число допустимых условием (6) функции , то требование, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 5), является необходимым условием абсолютной устойчивости системы (1). Достаточное условие абсолютной устойчивости даёт теорема В.-М. Попова.

Критерий устойчивости В.-М. Попова. Для того чтобы система (1) была абсолютно устойчива в угле , достаточно, чтобы существовало такое конечное действительное число , при котором для всех значений выполнялось условие

. (36)

Заметим, что сформулированное в теореме В.-М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы существенно отличается от требований критерия Найквиста для линейных систем. Последний накладывает ограничение на значение лишь в точках, где . В других точках значение может быть любым, так как ограничение значения в точках, где , уже предотвращает возможность охвата точки годографом вектора , что и обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой линейной системы. Сформулированное же в теореме В.-М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы требует ограничения значений для всех , а не только в точках, где .

Выше была введена видоизменённая частотная характеристика . Обозначим через и соответственно действительную и мнимую части . Согласно (27) будем тогда иметь

(37)

В соответствии с (37)

(1.38)

Условие (36), таким образом, принимает вид

(для всех ). (39)

На плоскости (то есть на плоскости комплексного переменного ) уравнение

,

или эквивалентное ему уравнение

, (40)

определяет собой прямую (рис.7), проходящую через точку . Угловой коэффициент этой прямой равен . Прямую (40) можно назвать прямой Попова.



Нетрудно видеть, что условие (39) выполняется в любой точке плоскости комплексного переменного ,расположенной правее прямой Попова. Иными словами, условие (39) означает, что годограф вектора должен быть расположен правее прямой Попова.

Итак, если в системе имеется нелинейный элемент с однозначной характеристикой (см. рис. 8), то возможны два случая. Первый – нелинейная характеристика расположена в секторе (см. рис. 8), второй в секторе .



Начнем с первого случая,

. (41)

Пусть теперь линейная часть системы описывается уравнением , причем степень многочлена больше степени многочлена .

Передаточная функция линейной части имеет полюса с отрицательными вещественными частями, причем допускается наличие не более двух нулевых полюсов.

По критерию В.М. Попова состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе и существует такое действительное число , что при всех выполняется неравенство

, (42)

где – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.

Для удобства графического представления этого критерия вводится модифицированная частотная характеристика линейной части

,

где

. (43)

Следовательно график имеет вид, аналогичный амплитудно-фазовой характеристики линейной части и отличается от нее только масштабом по мнимой оси (рис. 9).



Поскольку выражение (42) можно записать в виде

,

то с подстановкой (43) оно преобразуется к виду

. (44)

Выражение

(45)

представляет собой уравнение прямой на плоскости прямоугольных координат . Эта прямая проходит через точку на оси и имеет крутизну наклона .

Отсюда вытекает следующая формулировка критерия абсолютной устойчивости.

Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится внутри сектора и можно провести через точку прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа).

На рис. 10 и 11 показаны случаи, когда критерий абсолютной устойчивости выполняется, а на рис. 12 и 13 – не выполняется.






Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск