Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования
Скачать 97.81 Kb.
|
Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение»Кафедра «Подводные роботы и аппараты»2003 год. Устойчивость нелинейных управляемых систем. Критерий В.-М. Попова. Мы будем рассматривать собственные колебания нелинейной управляемой системы, описываемой следующими дифференциальными уравнениями  ,  , , (1) ,где функция  удовлетворяет условию . (2)Систему уравнений (1) можно переписать так  , . (3)Если ввести матрицы  ,  ,  ,  (4)и обозначить через  оператор дифференцирования по времени, то есть  , то можно заменить систему дифференциальных уравнений (3) векторным уравнением  , (5)где через  обозначена единичная матрица.В дополнение к условию (2) будем считать, что функция такова, что её график не выходит из угловой области, показанной на рис. 1,то есть  . (6) При  условие (6) сводится к неравенству  .При  векторное уравнение (5) принимает вид . (7)Дифференциальному уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение  , (8)где  . (9)Случай, когда все корни характеристического уравнения (8) расположены на плоскости комплексного переменного  левее мнимой оси, то есть  , , будем называть основным случаем. Ниже мы ограничемся рассмотрением лишь основного случая. Систему уравнений (1) можно в векторной форме записать так  , ,  . (10)Исключая x из уравнений (10), получим следующее уравнение  . (11)Обозначим теперь  . (12)Уравнение (11) примет вид  . (13)Матрица  может быть записана так . (14)Из выражения (14) видно, что функция представляет собой скалярную дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.^ .Управляемой системе, собственные колебания которой описываются уравнениями (1), можно поставить в соответствие структурную схему, изображенную на рис. 2. Схема на рис. 2 представляет собой замкнутую управляемую систему, у которой в цепь обратной связи включен нелинейный элемент. Через  обозначен входной сигнал системы. Рассматриваемая система будет описываться уравнением  , (15)откуда следует,что  . (16)В частном случае, когда  , (17)уравнение (16) принимает следующий вид  , (18)или  . (19)Так как согласно (14)  , (20)то уравнение (19) можно переписать так  . (21)Собственные колебания замкнутой управляемой системы при  будут описываться однородным уравнением, которое получается из уравнения (21) при   . (22)Характеристическое уравнение, соответсвующее дифференциальному уравнению (22), будет следующим  . (23)В рассматриваемом здесь основном случае все нули полинома  расположены в левой полуплоскости комплексного переменного . Поэтому для того, чтобы при замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой, то есть характеристическое уравнение (23) не имело корней В правой полуплоскости ,достаточно в соответствии с критерием Найквиста, чтобы годограф вектора  не пересекал полуотрезка  (рис. 3) , или годограф вектора  не пересекал полуотрезка  (рис.4).  Так как функции удовлетворяют условию (6), то принадлежащие к этому классу линейные функции  удовлетворяют условию  , или (24) Поэтому для того, чтобы замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой при любой функции , где  , необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка  (рис 5). В случае, когда , имеем  , то есть запретной зоной будет интервал  . Само начало координат в запретную зону не включается, ибо мы рассматриваем функции с любым, сколь угодно большим, но конечным значением  .Видоизмененная частотная характеристика. Выше при помощи соотношения (14) была выведена функция  Разомкнем цепь обратной связи у системы, изображённой на рис.2. Разомкнутая система (рис.6) будет описываться уравнением  , (25)где через  обозначен сигнал, поданый на вход системы.Как следует из уравнения (25), функция представляет собой передаточную функцию разомкнутой системы, показанной на рис.6. В соответствии с выражением (14) частотная характеристика разомкнутой системы будет . (26)Введём теперь функцию  , определяемую следующими соотношениями , (27)Таким образом, функция  будет иметь вид . (28)Так как  является четной функцией от  , а  является нечетной функцией от , то в соответствии с (27) функция  будет четной функцией от и, таким образом,  . (29) Функция называется видоизменённой частотной характеристикой.Так как в соответствии с (14) функция представляет собой дробно-рациональную функцию, степень числителя у которой ниже степени знаменателя, то для  будем иметь следующее выражение ,  . (30)В знаменателе выражения (30) коэффициент при  равен единице, так как согласно (9) . Полагая  , получим согласно (30), что . (31)Из выражения (31) следует, что  ,  . (32)Умножая левую и правую части выражения (31) на , получим  . (33)Учитывая, что в соответствии с (27)  ,найдем, что  ,  ,и, следовательно  . (34)Значение  будет различным в случае, когда  , и в случае, когда  .При , то есть при  , будем согласно (31) и (33) иметь ,  .При будем иметь ,  .Таким образом,  .Критерий устойчивости В. М. Попова. Определение. Систему (1) , , , (1) ,тривиальное решение которой  асимптотически устойчиво при любых видах функции , удовлетворяющих условию (6) ,будем называть абсолютно устойчивой в угле  .Так как линейные функции ,  входят в число допустимых условием (6) функции , то требование, чтобы годограф вектора не пересекал полуотрезка (рис. 5), является необходимым условием абсолютной устойчивости системы (1). Достаточное условие абсолютной устойчивости даёт теорема В.-М. Попова.Критерий устойчивости В.-М. Попова. Для того чтобы система (1) была абсолютно устойчива в угле , достаточно, чтобы существовало такое конечное действительное число  , при котором для всех значений  выполнялось условие  . (36)Заметим, что сформулированное в теореме В.-М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы существенно отличается от требований критерия Найквиста для линейных систем. Последний накладывает ограничение на значение лишь в точках, где  . В других точках значение может быть любым, так как ограничение значения в точках, где , уже предотвращает возможность охвата точки  годографом вектора , что и обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой линейной системы. Сформулированное же в теореме В.-М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы требует ограничения значений  для всех , а не только в точках, где .Выше была введена видоизменённая частотная характеристика . Обозначим через  и  соответственно действительную и мнимую части . Согласно (27) будем тогда иметь  (37)В соответствии с (37)  (1.38)Условие (36), таким образом, принимает вид  (для всех ). (39)На плоскости  (то есть на плоскости комплексного переменного  ) уравнение  ,или эквивалентное ему уравнение  , (40)определяет собой прямую (рис.7), проходящую через точку  . Угловой коэффициент этой прямой равен  . Прямую (40) можно назвать прямой Попова. Нетрудно видеть, что условие (39) выполняется в любой точке плоскости комплексного переменного ,расположенной правее прямой Попова. Иными словами, условие (39) означает, что годограф вектора должен быть расположен правее прямой Попова.Итак, если в системе имеется нелинейный элемент с однозначной характеристикой  (см. рис. 8), то возможны два случая. Первый – нелинейная характеристика расположена в секторе  (см. рис. 8), второй в секторе  . Начнем с первого случая,  . (41)Пусть теперь линейная часть системы описывается уравнением  , причем степень многочлена  больше степени многочлена  .Передаточная функция линейной части  имеет полюса с отрицательными вещественными частями, причем допускается наличие не более двух нулевых полюсов.По критерию В.М. Попова состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе и существует такое действительное число , что при всех  выполняется неравенство , (42)где  – амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы.Для удобства графического представления этого критерия вводится модифицированная частотная характеристика линейной части  ,где  . (43)Следовательно график  имеет вид, аналогичный амплитудно-фазовой характеристики линейной части и отличается от нее только масштабом по мнимой оси (рис. 9). Поскольку выражение (42) можно записать в виде  ,то с подстановкой (43) оно преобразуется к виду  . (44)Выражение  (45)представляет собой уравнение прямой на плоскости прямоугольных координат  . Эта прямая проходит через точку  на оси  и имеет крутизну наклона  .Отсюда вытекает следующая формулировка критерия абсолютной устойчивости. Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика находится внутри сектора и можно провести через точку прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа).На рис. 10 и 11 показаны случаи, когда критерий абсолютной устойчивости выполняется, а на рис. 12 и 13 – не выполняется.     |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями | | Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления |
| Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | | Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой... |
| Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих... | | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... |
| Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | | Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения |
| Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки... | | Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают.... |
