Скачать 97.81 Kb.
|
Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение»Кафедра «Подводные роботы и аппараты»2003 год. Устойчивость нелинейных управляемых систем. Критерий В.-М. Попова. Мы будем рассматривать собственные колебания нелинейной управляемой системы, описываемой следующими дифференциальными уравнениями ![]() ![]() ![]() ![]() где функция ![]() ![]() Систему уравнений (1) можно переписать так ![]() ![]() Если ввести матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() и обозначить через ![]() ![]() ![]() где через ![]() В дополнение к условию (2) будем считать, что функция ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() При ![]() ![]() Дифференциальному уравнению (7) соответствует характеристическое уравнение ![]() где ![]() Случай, когда все корни характеристического уравнения (8) расположены на плоскости комплексного переменного ![]() ![]() ![]() будем называть основным случаем. Ниже мы ограничемся рассмотрением лишь основного случая. Систему уравнений (1) можно в векторной форме записать так ![]() ![]() ![]() Исключая x из уравнений (10), получим следующее уравнение ![]() Обозначим теперь ![]() Уравнение (11) примет вид ![]() Матрица ![]() ![]() Из выражения (14) видно, что функция ![]() ^ ![]() Управляемой системе, собственные колебания которой описываются уравнениями (1), можно поставить в соответствие структурную схему, изображенную на рис. 2. Схема на рис. 2 представляет собой замкнутую управляемую систему, у которой в цепь обратной связи включен нелинейный элемент. Через ![]() ![]() Рассматриваемая система будет описываться уравнением ![]() откуда следует,что ![]() В частном случае, когда ![]() уравнение (16) принимает следующий вид ![]() или ![]() Так как согласно (14) ![]() то уравнение (19) можно переписать так ![]() Собственные колебания замкнутой управляемой системы при ![]() ![]() ![]() Характеристическое уравнение, соответсвующее дифференциальному уравнению (22), будет следующим ![]() В рассматриваемом здесь основном случае все нули полинома ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому для того, чтобы замкнутая управляемая система была асимптотически устойчивой при любой функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Видоизмененная частотная характеристика. Выше при помощи соотношения (14) была выведена функция ![]() Разомкнем цепь обратной связи у системы, изображённой на рис.2. Разомкнутая система (рис.6) будет описываться уравнением ![]() где через ![]() Как следует из уравнения (25), функция ![]() ![]() Введём теперь функцию ![]() ![]() Таким образом, функция ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Функция ![]() Так как в соответствии с (14) функция ![]() ![]() ![]() ![]() В знаменателе выражения (30) коэффициент при ![]() ![]() ![]() ![]() Из выражения (31) следует, что ![]() ![]() Умножая левую и правую части выражения (31) на ![]() ![]() Учитывая, что в соответствии с (27) ![]() найдем, что ![]() ![]() и, следовательно ![]() Значение ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() ![]() Таким образом, ![]() Критерий устойчивости В. М. Попова. Определение. Систему (1) ![]() ![]() ![]() ![]() тривиальное решение которой ![]() ![]() ![]() будем называть абсолютно устойчивой в угле ![]() Так как линейные функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Критерий устойчивости В.-М. Попова. Для того чтобы система (1) была абсолютно устойчива в угле ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что сформулированное в теореме В.-М. Попова достаточное условие (36) абсолютной устойчивости нелинейной системы существенно отличается от требований критерия Найквиста для линейных систем. Последний накладывает ограничение на значение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Выше была введена видоизменённая частотная характеристика ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В соответствии с (37) ![]() Условие (36), таким образом, принимает вид ![]() ![]() На плоскости ![]() ![]() ![]() или эквивалентное ему уравнение ![]() определяет собой прямую (рис.7), проходящую через точку ![]() ![]() ![]() Нетрудно видеть, что условие (39) выполняется в любой точке плоскости комплексного переменного ![]() ![]() Итак, если в системе имеется нелинейный элемент с однозначной характеристикой ![]() ![]() ![]() ![]() Начнем с первого случая, ![]() Пусть теперь линейная часть системы описывается уравнением ![]() ![]() ![]() Передаточная функция линейной части ![]() По критерию В.М. Попова состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Для удобства графического представления этого критерия вводится модифицированная частотная характеристика линейной части ![]() где ![]() Следовательно график ![]() ![]() ![]() Поскольку выражение (42) можно записать в виде ![]() то с подстановкой (43) оно преобразуется к виду ![]() Выражение ![]() представляет собой уравнение прямой на плоскости прямоугольных координат ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда вытекает следующая формулировка критерия абсолютной устойчивости. Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейная характеристика ![]() ![]() ![]() На рис. 10 и 11 показаны случаи, когда критерий абсолютной устойчивости выполняется, а на рис. 12 и 13 – не выполняется. ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями | ![]() | Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления |
![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | ![]() | Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой... |
![]() | Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих... | ![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... |
![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | ![]() | Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения |
![]() | Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки... | ![]() | Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают.... |