Скачать 142.3 Kb.
|
Московский государственный технический университетим. Н. Э. Баумана Пузанов В. П.ЛЕКЦИИПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ. Факультет «Специальное машиностроение» Кафедра «Подводные роботы и аппараты» 2003 год. Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости.Реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой общего вида (реле с зоной нечувствительности и гистерезисом). Характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом ![]() Характеристика нелинейного звена является нечетной функцией, то есть ![]() Задача. Провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при ![]() ![]() РЕШЕНИЕ. Согласно заданной структурной схеме математической моделью процессов в исследуемой системе являются следующие уравнения ![]() ![]() Уравнение (2) записано с учетом свойства нечетности заданной релейной характеристики. Для того, чтобы упростить аналитические выкладки, выполним преобразование исходной математической модели (1) (2) системы управления. Продифференцируем уравнение (1), а затем подставим в него уравнение (2). В результате получаем ![]() Уравнение (3) запишем относительно переменных состояния в следующем виде ![]() Здесь обозначено ![]() ![]() ![]() Как следует из заданной характеристики нелинейного звена, нелинейное звено с характеристикой ![]() Если ![]() ![]() если ![]() ![]() В связи с этим на фазовой плоскости можно выделить три области: область I, где ![]() ![]() ![]() ![]() Линии, разделяющие фазовую плоскость на различные области – линии переключения (пунктирные линии на рисунке). Такую фазовую плоскость часто называют многолистной. На каждом листе (области I, II,III,) получаем свой вид фазовых траекторий. По линиям переключения эти листы (области) «сшиваются». Фазовые траектории переходят из одной области (с одного листа) на другой последовательно пересекая линии переключения, на которых меняется скачком значение ![]() Получим уравнение для фазовых траекторий в каждой из данных областей. ОБЛАСТЬ I. В этой области ![]() ![]() Уравнение (6) является линейным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его ![]() ![]() ![]() Вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства (6.1) ![]() Таким образом, интегрирование уравнения (6) в области I дает следующий результат ![]() где ![]() ![]() Движение изображающей точки по фазовым траекториям, где ![]() ![]() ![]() ![]() ОБЛАСТЬ II. В области II значение ![]() ![]() Уравнение (9) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий в этой области. Проинтегрировав его получим уравнение фазовых траекторий ![]() Из уравнения (10) следует, что во второй области фазовые траектории – это прямые. В верхней полуплоскости движение изображающей точки будет происходить слева направо так как ![]() ![]() На рисунке изображены фазовые траектории системы для области II. Напомним, что для этой области ![]() ![]() ^ В этой области ![]() ![]() Уравнение (11) – линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Найдем решение дифференциального уравнения (11). ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислим интеграл, стоящий в правой части полученного равенства ![]() Таким образом, интегрирование уравнения (11) в области III дает следующий результат ![]() где ![]() ![]() Движение изображающей точки по фазовым траекториям в верхней полуплоскости, где ![]() ![]() ![]() ![]() «Сшивая» области I, II и III фазовой плоскости по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы. ![]() В целом фазовые траектории имеют спиралевидную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Но колебательный процесс затухает не до нуля, а до некоторого значения на интервале ![]() ![]() По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе и каково установившееся значение выходной переменной ![]() ![]() В рассматриваемом случае вместо особой точки получается ОСОБЫЙ отрезок равновесных состояний ![]() ^ МЕТОДОМ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. РЕЛЕ С ГИСТЕРЕЗИСОМ. Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с нелинейной характеристикой, вид которой показан на рисунке ![]() Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке. Задача состоит в том, чтобы провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при ![]() РЕШЕНИЕ. Согласно заданной структурной схеме математической моделью процессов в исследуемой системе являются следующие уравнения ![]() ![]() ![]() Уравнение (2) записано с учетом свойства нечетности заданной характеристики. Для того чтобы упростить аналитические выкладки, выполним преобразование исходной математической модели (1) и (2) системы управления. С этой целью выполним дифференцирование уравнения (1) по времени, а затем подставим в него уравнение (2). В результате чего получаем ![]() Уравнение (3) запишем относительно переменных состояния в следующем виде ![]() В системе уравнений (4) обозначено: ![]() ![]() Из системы уравнений (4) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий, поделив второе уравнение системы (4) на первое ![]() Математическую модель заданного нелинейного элемента можно представить в виде следующей системы уравнений Если ![]() ![]() если ![]() ![]() Уравнения (6) и (7) определяют линию переключения (на рисунках пунктирные линии), которая разделяет фазовую плоскость на две области: ![]() область I, где ![]() ![]() ^ . В области I ![]() ![]() Выполним интегрирование уравнения (8), которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными ![]() ![]() ![]() Вычислим интеграл, стоящий в правой части последнего равенства ![]() Таким образом, в области I фазовые траектории определяются уравнением ![]() где ![]() ![]() Движение изображающей точки по фазовым траекториям в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() ^ . В области II ![]() ![]() Уравнение (11) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий во второй области. Выполним интегрирование уравнения (11) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, уравнение фазовых траекторий в области II будет иметь вид ![]() где ![]() Как следует из (12) фазовые траектории имеют асимптоту ![]() Движение изображающей точки по фазовым траекториям во второй области в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() «Сшивая» фазовые портреты для этих двух областей по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы. ![]() Анализ фазовых траекторий показывает, что фазовые траектории начинаясь из произвольной точки фазовой плоскости сходятся к некоторой замкнутой кривой – образуют сходящиеся спирали. На фазовой плоскости есть предельный цикл, следовательно, в системе есть автоколебания. В рассматриваемом примере, если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла, то процесс в системе будет иметь вид ![]() Если начальные условия на фазовой плоскости лежат вне предельного цикла, то процесс будет иметь вид ![]() Автоколебания происходят около петли гистерезиса с амплитудой несколько превышающей величину ![]() Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Скользящие процессы в релейных системах. Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с идеальной релейной характеристикой. ![]() Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке Задача. Провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при ![]() ![]() Решение. По заданной структурной схеме составим математическую модель исследуемой системы в виде системы дифференциальных уравнений ![]() Преобразуем математическую модель исследуемой системы с учетом свойств релейной характеристики (нечетная функция своего аргумента) ![]() Движение системы происходит только за счет наличия ненулевых начальных условий. В уравнениях (2) физический смысл переменных состояния: ![]() ![]() ![]() Линия переключения реле на фазовой плоскости задается уравнением ![]() ![]() Справа от линии переключения (область I) будет выполняться неравенство ![]() ![]() Получим уравнения фазовых траекторий в каждой из этих областей. Область 1. В этой области ![]() ![]() это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Выполним интегрирование дифференциального уравнения (5) ![]() ![]() ![]() Уравнение (6) – это уравнение фазовых траекторий системы в области 1. Уравнение (6) – это уравнение парабол, вершины которых находятся на оси ![]() ![]() ![]() ![]() Область II. В области II ![]() ![]() Уравнение (7) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий исследуемой системы слева от линии переключения. Интегрирование дифференциального уравнения (7) дает ![]() Уравнение (8) – это уравнение фазовых траекторий системы левее линии переключения (в области II). Уравнение(8) – это уравнение парабол, вершины которых находятся на оси ![]() ![]() ![]() ![]() «Сшивая» оба листа по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы. ![]() ![]() ![]() ![]() Из полученных формул и фазового портрета исследуемой системы можно сделать следующие выводы. Вывод 1. Фазовая плоскость исследуемой системы разбивается на две области границей которых является прямая ![]() – линия переключения релейного элемента системы. Вывод 2. На линии переключения можно выделить три характерных участка, разграниченных точками ![]() ![]() ![]() ![]() Попав на отрезок ![]() ![]() ![]() ^ ![]() или ![]() Решение этого уравнения будет ![]() где значения ![]() ![]() Скользящий процесс происходит по экспоненциальному закону и не зависит от параметров системы, а определяется только коэффициентом обратной связи. Нелинейная система второго порядка на участке скользящего режима вырождается в линейную систему первого порядка. Найдем положение концов отрезка скользящего процесса ![]() ![]() ![]() можно записать в виде ![]() Тогда из уравнений траекторий (3) получим для точки ![]() ![]() ![]() Для точки ![]() ![]() ![]() Вывод 4. Отрезок скользящего процесса тем больше, чем больше коэффициент усиления обратной связи. Процессы в релейных системах со скользящим режимом. Пусть начальные условия таковы, что изображающая точка на фазовой плоскости занимает положение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями | ![]() | Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления |
![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | ![]() | ... |
![]() | Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих... | ![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... |
![]() | Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения... | ![]() | Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения |
![]() | Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки... | ![]() | Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают.... |