Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования






Скачать 142.3 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования
Дата публикации30.01.2015
Размер142.3 Kb.
ТипИсследование
top-bal.ru > Математика > Исследование



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана

Пузанов В. П.



ЛЕКЦИИ




ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»


ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО



УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2003 год.

Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости.

Реле с гистерезисом и зоной нечувствительности.



Рассмотрим систему автоматического уравнения, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с релейной характеристикой общего вида (реле с зоной нечувствительности и гистерезисом). Характеристика реле с зоной нечувствительности и гистерезисом



Характеристика нелинейного звена является нечетной функцией, то есть . Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке

Задача. Провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при . Исследуем собственные движения системы.


РЕШЕНИЕ. Согласно заданной структурной схеме математической моделью процессов в исследуемой системе являются следующие уравнения

, (1)

, (2)

Уравнение (2) записано с учетом свойства нечетности заданной релейной характеристики.

Для того, чтобы упростить аналитические выкладки, выполним преобразование исходной математической модели (1) (2) системы управления. Продифференцируем уравнение (1), а затем подставим в него уравнение (2). В результате получаем

, (3)

Уравнение (3) запишем относительно переменных состояния в следующем виде

. (4)

Здесь обозначено – выходная переменная системы – скорость изменения выходной переменной системы. Из полученной системы уравнений (4) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий, поделив второе уравнение системы (4) на первое

. (5)

Как следует из заданной характеристики нелинейного звена, нелинейное звено с характеристикой можно представить в виде следующей математической модели.

Если , то

,

если , то

.

В связи с этим на фазовой плоскости можно выделить три области: область I, где , область II, где и область III, где .



Линии, разделяющие фазовую плоскость на различные области – линии переключения (пунктирные линии на рисунке). Такую фазовую плоскость часто называют многолистной. На каждом листе (области I, II,III,) получаем свой вид фазовых траекторий. По линиям переключения эти листы (области) «сшиваются». Фазовые траектории переходят из одной области (с одного листа) на другой последовательно пересекая линии переключения, на которых меняется скачком значение , за исключением особых случаев, когда фазовые траектории встречаются.

Получим уравнение для фазовых траекторий в каждой из данных областей.

ОБЛАСТЬ I. В этой области и, следовательно, дифференциальное уравнение фазовых траекторий принимает вид

. (6)

Уравнение (6) является линейным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Решим его

, ,

, (6.1)

Вычислим интеграл, стоящий в правой части равенства (6.1)

.

Таким образом, интегрирование уравнения (6) в области I дает следующий результат

, (7)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями. Уравнение (7) – это уравнение фазовых траекторий системы в области (I). Из уравнения (7) следует, что фазовые траектории имеют асимптоту

. (8)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям, где происходит слева направо; в нижней полуплоскости, где – справа налево. На рисунке изображены фазовые траектории системы для области I. Напомним, что для этой области .



ОБЛАСТЬ II. В области II значение и равенство (6) принимает вид

. (9)

Уравнение (9) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий в этой области. Проинтегрировав его получим уравнение фазовых траекторий

. (10)

Из уравнения (10) следует, что во второй области фазовые траектории – это прямые. В верхней полуплоскости движение изображающей точки будет происходить слева направо так как . В нижней полуплоскости движение изображающей точки будет происходить справа налево так как .

На рисунке изображены фазовые траектории системы для области II. Напомним, что для этой области .



^ ОБЛАСТЬ III. В этой области и уравнение (5) принимает вид

. (11)

Уравнение (11) – линейное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Найдем решение дифференциального уравнения (11).

,

, ,

,

Вычислим интеграл, стоящий в правой части полученного равенства



Таким образом, интегрирование уравнения (11) в области III дает следующий результат

, (12)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями. Уравнение (12) – это уравнение фазовых траекторий системы в области Ш. Из уравнения (12) следует, что фазовые траектории имеют асимптоту

. (8)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям в верхней полуплоскости, где происходит слева направо; в нижней полуплоскости, где – справа налево. На рисунке изображены фазовые траектории системы для области III. Напомним, что для этой области .



«Сшивая» области I, II и III фазовой плоскости по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы.



В целом фазовые траектории имеют спиралевидную форму. Это соответствует затухающим колебательным процессам. Но колебательный процесс затухает не до нуля, а до некоторого значения на интервале , при , т.е. внутри зоны нечувствительности реле.

По какой из фазовых траекторий пойдет переходный процесс в системе и каково установившееся значение выходной переменной определяется начальными условиями и имеет вид



В рассматриваемом случае вместо особой точки получается ОСОБЫЙ отрезок равновесных состояний . Такой случай характерен только для нелинейных систем – отрезок состояний равновесия.

^ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДОМ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. РЕЛЕ С ГИСТЕРЕЗИСОМ.
Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с нелинейной характеристикой, вид которой показан на рисунке



Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке.

Задача состоит в том, чтобы провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при (исследуются собственные движения системы).

РЕШЕНИЕ. Согласно заданной структурной схеме математической моделью процессов в исследуемой системе являются следующие уравнения

, (1)

. (2)



Уравнение (2) записано с учетом свойства нечетности заданной характеристики.

Для того чтобы упростить аналитические выкладки, выполним преобразование исходной математической модели (1) и (2) системы управления. С этой целью выполним дифференцирование уравнения (1) по времени, а затем подставим в него уравнение (2). В результате чего получаем

, (3)

Уравнение (3) запишем относительно переменных состояния в следующем виде

, (4)

В системе уравнений (4) обозначено: – выходная переменная системы, – скорость изменения выходной переменной.

Из системы уравнений (4) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий, поделив второе уравнение системы (4) на первое

. (5)

Математическую модель заданного нелинейного элемента можно представить в виде следующей системы уравнений

Если , то

, (6)

если , то

. (7)

Уравнения (6) и (7) определяют линию переключения (на рисунках пунктирные линии), которая разделяет фазовую плоскость на две области:



область I, где , область II, где .

^ ОБЛАСТЬ I. В области I , следовательно уравнение (5) принимает вид

, (8)

Выполним интегрирование уравнения (8), которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

,

,

.

Вычислим интеграл, стоящий в правой части последнего равенства

.

Таким образом, в области I фазовые траектории определяются уравнением

, (9)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями таким образом, чтобы начальная точка фазовой траектории находилась в области I. Из уравнения (9) следует, что фазовые траектории имеют асимптоту

, (10)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ; в нижней полуплоскости справа налево, т.к. . На рисунке изображены фазовые траектории системы для области I. Напомним, что для этой области .


^ ОБЛАСТЬ II. В области II и, следовательно, уравнение (5) принимает вид

, (11)

Уравнение (11) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий во второй области. Выполним интегрирование уравнения (11)

,

,

,

,

.

Таким образом, уравнение фазовых траекторий в области II будет иметь вид

, (12)

где – постоянная интегрирования, которая определяется начальными условиями, таким образом, чтобы начальная точка фазовой траектории находилась в области II.

Как следует из (12) фазовые траектории имеют асимптоту

, (13)

Движение изображающей точки по фазовым траекториям во второй области в верхней полуплоскости происходит слева направо, т.к. ; в нижней полуплоскости справа налево, т.к. . На рисунке изображены фазовые траектории системы для области II. Напомним, что для этой области .



«Сшивая» фазовые портреты для этих двух областей по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы.



Анализ фазовых траекторий показывает, что фазовые траектории начинаясь из произвольной точки фазовой плоскости сходятся к некоторой замкнутой кривой – образуют сходящиеся спирали. На фазовой плоскости есть предельный цикл, следовательно, в системе есть автоколебания.

В рассматриваемом примере, если начальные условия таковы, что изображающая точка находится внутри предельного цикла, то процесс в системе будет иметь вид



Если начальные условия на фазовой плоскости лежат вне предельного цикла, то процесс будет иметь вид



Автоколебания происходят около петли гистерезиса с амплитудой несколько превышающей величину .

Исследование процессов в нелинейных системах методом фазовой плоскости. Скользящие процессы в релейных системах.
Рассмотрим систему автоматического управления, в качестве нелинейного элемента которой используется звено с идеальной релейной характеристикой.



Структурная схема исследуемой системы показана на рисунке

Задача. Провести качественный анализ процессов в системе управления методом фазовой плоскости при (исследовать собственные движения системы).


Решение. По заданной структурной схеме составим математическую модель исследуемой системы в виде системы дифференциальных уравнений

(1)

Преобразуем математическую модель исследуемой системы с учетом свойств релейной характеристики (нечетная функция своего аргумента)

(2)

Движение системы происходит только за счет наличия ненулевых начальных условий. В уравнениях (2) физический смысл переменных состояния: – выходная переменная системы, – скорость изменения выходной переменной системы. Из уравнений (2) получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий системы

. (3)

Линия переключения реле на фазовой плоскости задается уравнением

, . (4)

Справа от линии переключения (область I) будет выполняться неравенство . Слева от линии переключения (область II) будет выполняться неравенство .

Получим уравнения фазовых траекторий в каждой из этих областей.

Область 1. В этой области , следовательно, уравнение (3) принимает вид

, (5)

это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Выполним интегрирование дифференциального уравнения (5)

,

,

, (6)

Уравнение (6) – это уравнение фазовых траекторий системы в области 1. Уравнение (6) – это уравнение парабол, вершины которых находятся на оси фазовой плоскости, а ветви парабол направлены влево. Параболы изображены на рисунке справа от линии переключения. Направление движения изображающей точки по этим фазовым траекториям: в верхней полуплоскости – движение слева направо (); в нижней полуплоскости – справа налево ().



Область II. В области II . Следовательно, уравнение (3) принимает вид

. (7)

Уравнение (7) – это дифференциальное уравнение фазовых траекторий исследуемой системы слева от линии переключения. Интегрирование дифференциального уравнения (7) дает

. (8)

Уравнение (8) – это уравнение фазовых траекторий системы левее линии переключения (в области II). Уравнение(8) – это уравнение парабол, вершины которых находятся на оси , а ветви парабол направлены вправо. Направление движения изображающей точки: в верхней полуплоскости – справа налево (); в нижней полуплоскости - справа налево ().



«Сшивая» оба листа по линии переключения получим фазовый портрет исследуемой системы.




Из полученных формул и фазового портрета исследуемой системы можно сделать следующие выводы.

Вывод 1. Фазовая плоскость исследуемой системы разбивается на две области границей которых является прямая



– линия переключения релейного элемента системы.

Вывод 2. На линии переключения можно выделить три характерных участка, разграниченных точками и линии переключения, точками касания фазовых траекторий (парабол) линии переключения. За пределами отрезка фазовая траектория по одну сторону линии переключения после перехода через нее является продолжением траектории по другую сторону линии переключения. Внутри отрезка фазовые траектории подходят к линии переключения с двух сторон, встречаясь на нем.

Попав на отрезок , изображающая точка уже не сможет сойти с него, но и не сможет остаться на нем. Скорость движения на не определена, но специальные исследования показывают, что она конечна. Изображающая точка будет скользить по отрезку к началу координат – точке равновесия похожего на устойчивый узел. Отрезок называют отрезком скольжения.
^

Вывод 3. Уравнение движения системы вдоль линии переключения




или

.

Решение этого уравнения будет

,

где значения (начальное значение времени движения системы по линии переключения) и вычисляются в момент попадания изображающей точки на линию (отрезок) скольжения.

Скользящий процесс происходит по экспоненциальному закону и не зависит от параметров системы, а определяется только коэффициентом обратной связи. Нелинейная система второго порядка на участке скользящего режима вырождается в линейную систему первого порядка.

Найдем положение концов отрезка скользящего процесса и на фазовой плоскости. Очевидно, что в этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключения. Это условие согласно уравнению (4)



можно записать в виде

. (9)

Тогда из уравнений траекторий (3) получим для точки условие в виде (приравнивая правые части равенств (5) и (9)):

; .

Для точки (приравнивая правые части равенств (7) и (9):

; .

Вывод 4. Отрезок скользящего процесса тем больше, чем больше коэффициент усиления обратной связи.

Процессы в релейных системах со скользящим режимом.

Пусть начальные условия таковы, что изображающая точка на фазовой плоскости занимает положение в области I. Здесь и дальнейшее движение изображающей точки происходит по фазовой траектории . В точке происходит переключение реле (изображающая точка достигла линии переключения). Далее изображающая точка перемещается по фазовой траектории . В точке изображающая точка достигает линии переключения внутри отрезка – отрезка скольжения. В этом случае как только фазовая траектория пересечет линию переключения (из области II в область I) вступит в свои права фазовая траектория из области I, которая вернет процесс на линию переключения внутри отрезка скольжения. Но тут вступает в свои права фазовая траектория из области II и т.д. В результате изображающая точка будет «скользить» по линии переключения к началу координат. Это соответствует переключениям релейного элемента с большой частотой. Теоретически частота вибраций бесконечна, а амплитуда вибраций равна нулю. Следовательно, теоретически, изображающая точка скользит по линии переключения к началу координат – равновесному состоянию. Фазовой траектории соответствует процесс во времени, показанный на рисунке, где отмечены те же характерные точки.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Для того, чтобы добиться желаемого качества процессов управления (устойчивость, качество переходного процесса, точность отработки...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического управления и регулирования iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск