Скачать 170.12 Kb.
|
Задание 1. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения. Исходные данные (функции полных затрат фирмы и спроса на произведенный фирмой продукт) 1 условие: ) C(Q) =4 Q2 +10 Q +40, P(Q) = 100 – 5Q 2 условие: ) C(Q) =Q2 +4Q +15,P(Q) = 104 – 4Q; Построить графики полных затрат, предельных и средних затрат фирмы. Построить графики дохода, предельного и среднего дохода фирмы. Определить объем безубыточного производства. Построить графики полных затрат, дохода и прибыли фирмы. Определить объем оптимального выпуска. Построить графики прибыли, предельных затрат и предельного дохода фирмы. Задание 4. Построить изокванты производственной функцииQ=F(K,L). Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов. Производственная функция и значение выпуска F(K,L) =Q0 1 условие: Q = 5 KL; Q0 = 160; PK = 6; PL = 3; 2 условие: Q = 20 KL1/2; Q0 = 960; PK = 20; PL = 60; Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции в количестве F(K,L) =Q0 . Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов. Задание 7. Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнением dr/dt= (I(r) – S(r))/a, где функции инвестиций I= I(r) и сбережений S= S(r). Найти равновесное значение процентной ставки re. Вывести уравнение изменения размера процентной ставки со временем r= r(t). Размер процентной ставки r0 в момент времени t= 0 приведен в приложении 7. Построить график полученной зависимости. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать. Условия: Заданы коэффициент адаптации a процентной ставкиr; зависимость объема инвестиций от размера процентной ставки I=I(r); зависимость объема сбережений от размера процентной ставки S= S(r) и размер процентной ставки в момент времени t = 0: 1 условие: ) a =4; I(r)=2000 – 0,25(r – 0,2); S(r)=2000 + 0,5(r – 0,2); r(0) = 0,1; 2 условие: a = 2; I(r) = 3000 – 0,2 (r – 0,3); S(r) = 3000 + 0,25 (r – 0,3); r(0) = 0,1; Методические указания по выполнению заданий 1 Модель однопродуктовой фирмы Однопродуктовая фирма производит Q(quantity) единиц продукции. Зависимость между объемом произведенной продукции и минимально необходимыми затратами ее производства называется функцией затрат (издержек). Когда объем производства превышает единицу, тогда различают общие затраты С (Q) (cost) - на весь выпуск, средние затратыАС(Q) (averagecost), АС(Q) = С(Q)/Q – на единицу продукции и предельные затратыMC(Q) (marginalcost), MC(Q) = C(Q) как приращение общих затрат при увеличении выпуска на единицу. Выручка фирмы от продаж ^ единиц продукции называется доходом фирмы R(Q) (return, revenue),R(Q) = P(Q)Q, где Р(Q) - зависимостьценыР (price) от объема продукции. Аналогично вводится средний доходАR(Q) = R(Q)/Q и предельный доходМR(Q) =R(Q). ПрибыльI (input) есть разность между выручкой и полными издержками на производство и реализацию продукции: I(Q) = R(Q) – C(Q). Фирма стремится получать максимум прибыли. Условие максимума прибыли (необходимое): I(Q) = R(Q) – C(Q) = 0 или MR(Q) = MC(Q). Функция предложения по ценеQS(P) (supply) – зависимость между ценой блага и объемом его предложения. При неизменных ценах (в условиях совершенной конкуренции) прибыль фирмы достигает максимума, когда MC(Q) = P. Это уравнение определяет объем предложения фирмы на рынке благ. Функция спроса по цене QD(P) (demand) – зависимость между ценой блага и объемом его спроса. Пример.Функция полных издержек некоторой фирмы задана уравнением С(Q) =2Q+1000(тыс. д. ед.), где Q - объем производства (число единиц продукции). При этом цена производимой продукции на рынке равна 4 тыс. д. ед. за ед. продукции. При каких значениях объема производства прибыль фирмы положительна? Решение.прибыль фирмы определяется как доход (выручка от продаж) минус полные издержки производства. Поэтому I (Q) =4Q – (2Q +1000). Условие I (Q)> 0, т.е. 2Q– 1000 >0 приводит к решению Q> 500. Итак, при Q< 500 прибыль отрицательна (в этом случае издержки производства превосходят выручку от продажи), а при Q> 500 прибыль положительна (выручка от продажи превосходит издержки производства). При Q = 500 фирма прибыли получать не будет, но и не будет нести убытки. Ответ: Q>500 ед. Пример.Функция спроса имеет вид Q(P) = 2100 – 6P. 1) вывести уравнение функции дохода. 2) построить графики этой функции и функций среднего Y =AR(Q) и предельного дохода Y = MR(Q). Решение.Поскольку максимальная цена, при которой может быть продан товар в количестве Q, определяется при помощи функции спроса Q =Q(P), имеем Р(Q) =(2100 – Q)/6 =350 – Q/6. Тогда доход (выручка от продаж) определяется равенством R(Q) =PQ=(350 – Q/6)Q. график функции R =R(Q) в рассматриваемой задаче представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Корнями функции R =R(Q) являются: Q1 = 0 и Q2 = 2100. Максимум функции достигается при Qв =1050, причем Rmax= 1751050 = 183750. y Q O 2100 O y Q 2100 1050 y=AR(Q) y=MR(Q) График линии дохода. Графики линий среднего и предельного дохода. Для среднего и предельного доходов в случае линейной функции спроса (в этом случае P(Q) =a–bQ и R(Q) =aQ – bQ2) получаем: AR = P(Q) = a– bQ;MR= R'(Q)=a– 2bQ. Последнее означает, что линии предельного и среднего дохода отсекают на оси ординат равные отрезки длиной «а», а на оси абсцисс отрезок, отсекаемый линией средних издержек, вдвое превосходит отрезок, отсекаемый линией предельных издержек. В данной задаче AR(Q) =350 – Q/6, MR(Q) =350 – Q/3; графики этих функций приведены на рисунке. Ответ: R(Q) = (2100 – Q)/6. Пример. Кривая «затраты - выпуск» (функция полных издержек) имеет вид C(Q)= Q2 + 4Q+15. Построить графики функций полных издержекY = C(Q), предельных издержек Y = MC(Q) и средних издержекY = AC(Q). Решение. График функции полных издержек C(Q)= Q2 + 4Q+15 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, вершина имеет координаты (–2; 11), точек пересечения с осью OQ нет, ось OY парабола пересекает в точке с координатами (0; 15). Обратите внимание, что C(0) =15 – это значение фиксированных издержек. График функции предельных издержек MC(Q) = ![]() График функции средних издержек AC(Q) =C(Q) /Q =Q + 4 + 15/Q представляет собой гиперболу с наклонной асимптотой Y=Q + 4 и вертикальной асимптотой Q = 0. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях. Так как A ![]() ![]() Q = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так же стоит отметить, что графики функций предельных и средних издержек всегда пересекаются в точки минимума последнего, т.е., для нашей задачи, в точке с координатами ( ![]() ![]() Пример. Заданы функция дохода R(Q) =40Q– 4Q2и функция полных издержек фирмы С(Q) =2Q2 + 4Q + 10. Требуется определить, при каком объеме выпуска продукции достигается максимум прибыли. Решение.Прибыль фирмы определяется как разность между доходом и полными издержками: I(Q) = R(Q)C(Q), и из необходимого условия экстремума I'(Q)= 0 находим оптимальный выпуск. Так как функция прибыли определяется соотношением I(Q) =40Q4Q22Q24Q10 = =6Q2+36Q10, то графиком функции прибыли является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимальное значение прибыли достигается при Qв =3 и равно I(3) = 36 3 – 632 –10 = 44. Методические указания по выполнению заданий 3 и 4 Модель производства ^ Q =Q(K,L) называется зависимость выпуска продукции Qот производственных факторов: капитала K(capital) и труда L(labour). Изоквантой называется линия постоянного выпуска: Q (K,L) =Q0. Изокостой называется линия постоянных издержек: C (K,L) =С0. Основные задачи модели производства: Задача №1. Найти наибольший выпуск производства Q =Q(K,L) при ограниченных издержках C(K,L) =PKK+PLLC0 (PK–цена единицы капитала, PL– цена единицы труда). Задача №2. Найти наименьшие издержки C(K,L) = PKK+PLL для производства Q0 единиц продукции. Обе задачи являются задачами нахождения условного экстремума. Для их решения составляют функцию Лагранжа (K,L,), где - множитель Лагранжа, и находят ее критические точки. Геометрический смысл решения - в точке условного экстремума выполняется два условия: 1) изокванта касается изокосты, а значит, вектор grad С = ![]() ![]() Это позволяет составить систему уравнений для решения каждой задачи. Система уравнений для решения задачи №1: ![]() Система уравнений для решения задачи №2: ![]() Пример. Производственная функция однопродуктовой фирмы, использующей два вида ресурсов - труд (L) и капитал (К), имеет вид Q = 10L0,5K0,5. Построить изокванты (линии постоянного выпуска), соответствующие значениям выпуска продукции в объемах Q = 10 ед., Q = 20 ед. и ^ = 30 ед. Решение. Преобразовав уравнение производственной функции, получаем LK=(Q/10)2. Поэтому для изокванты Q= 10 получаем уравнение LK = 1 или K = 1 /L. Точно так же для изокванты Q= 20 получаем K=4 /L, а для изокванты Q = 30 K=9 /L.Графики этих изоквант (гипербол) изображены на рисунке. ![]() ^ 9 Динамические модели установления равновесия В динамических задачах отражается зависимость переменных от времени. Время в динамических моделях может рассматриваться как непрерывное, так и дискретное. В дискретных моделях все переменные на промежутке времени [t; t+ 1) считаются постоянными. Основные показатели, характеризующие динамику экономического объекта. 1) ^ : для дискретной модели At=AtAt-1; длянепрерывноймоделиA(t) = A(t+t) A(t). 2) Темпприроста (grow`s rate). для дискретной модели gt= ![]() Если темп прироста gt постоянен и равен g , то динамика величины Аt может быть описана как Аt =А0 (1+ g)t. для непрерывной модели g(t) = ![]() Если в непрерывной модели перейти к мгновенному изменению времени (t0), то g(t)= ![]() Равновесие – это такое состояние объекта, которое он сохраняет во времени при отсутствии внешних воздействий. Пусть Аe равновесное состояние величины А(t). Состояние равновесия устойчиво, если при отклонении А(t) >Aeдинамика системы такова, что величина А(t) будет убывать, то есть возвращаться к состоянию равновесия. Если же изменение А(t) <Аe, то для того, чтобы система вернулась к состоянию равновесия, величина А(t) должна возрастать. Пример.Динамика процентной ставки r в классической макромодели определяется уравнениемdr/dt= (I(r) S(r))/6,где функцииинвестиций I(r) и сбережений S(r) заданы в виде I(r) = 20000 (r 0,1)/10, S(r)= 20000 + (r0,1)/ 5. Вывести уравнение динамики процентной ставки r =r(t), если при t=0 ее значение равно r=0,13. Определить уровень процентной ставки r при t=20. Решение. Из условия задачи следует, что dr/dt = 0,05(r 0,1). разделяя переменные, получаем d(r0,l)/(r0,l) = dt/20, что приводит к следующему решению r(t) = 0,1 + 0,03et/20. Подставляя в полученное решение t= 20, получаем r(20) = 0,1 + 0,03/е 0,11. Ответ:r(20) 0,11. Пример.Динамика величины А(t) задана дифференциальным уравнением A(t) = k(А(t)Ae). Показать, что состояние равновесия Ae будет устойчиво, если k< 0. Решение.При k< 0 и А(t) >Ae ,то А(t)Ae> 0 и, следовательно, A(t) < 0, то есть функция А(t) убывает; если А(t) <Ae ,то А(t)Ae< 0 и, следовательно, A(t) > 0, то есть функция А(t) возрастает. При k> 0 и А(t) >AeA(t) > 0, то есть А(t) возрастает, и система продолжает уходить от состояния равновесия. Аналогично, если А(t) <Ae . Пример. Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt = ImK, где K – основные фонды, I инвестиции, m коэффициент выбытия фондов. Вывести уравнение динамики основных производственных фондов K= K(t), если инвестиции и коэффициент выбытия фондов постоянны и равны I= 50 и m= 0,1 соответственно, а при t= 0 объем основных фондов K=1000. Решение. Из условия задачи следует dK/dt= 50 – 0,1K, откуда получаем dK/d(K500) = 0,1dt, что приводит к следующему решению: K(t)= 500 + 500e0,1t. Ответ:K(t)= 500 + 500e0,1t. |
![]() | Современная теория фирмы. Программа курса Современная теория фирмы/ Программа курса, рабочий план, планы семинарских занятий, варианты... | ![]() | От «центра затрат» к положению звезды: преобразование фирмы по оказанию профессиональных услуг (рsf) |
![]() | Доход фирмы и ее издержки. Бухгалтерские и экономические. Издержки фирмы в краткосрочном и долгосрочном периодах | ![]() | Учебная дисциплина «Экономика фирмы» обеспечивает формирование общекультурных и профессиональных компетенций в части изучения экономики... |
![]() | Обратная функция спроса на товар т на внутреннем рынке страны р имеет вид. Иностранные потребители готовы купить любое количество... | ![]() | Анализ безубыточности и операционный рычаг, анализ чувствительности, анализ сценариев |
![]() | Итоговый междисциплинарный экзамен по направлению 08010062 «Экономика» профилю «Экономика и финансы фирмы» включает тематику следующих... | ![]() | Итоговый междисциплинарный экзамен по направлению 08010062 «Экономика» профилю «Экономика и финансы фирмы» включает тематику следующих... |
![]() | Фирма – открытая система, которая может существовать лишь при условии активного взаимодействия с внешней средой (рис. 1). Надо отметить,... | ![]() | В силу спецификации технологического оборудования затраты времени на производство сыров разные и представлены в таблице. Определить... |