Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического






Скачать 411.33 Kb.
НазваниеЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического
страница1/5
Дата публикации02.02.2015
Размер411.33 Kb.
ТипДокументы
top-bal.ru > Математика > Документы
  1   2   3   4   5

  1. Московский государственный технический университет

им. Н. Э. Баумана
  • Пузанов В. П.




  • ЛЕКЦИИ




  1. ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»



  • ТЕОРИЯ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО


УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.

Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»
2003 год.


Дискретные функции.
Дискретность сигналов в цифровых системах обусловлена их квантованием по уровню и по времени. В противоположность непрерывным сигналам, которые описываются непрерывными функциями времени, дискретные сигналы могут принимать лишь дискретные значения в дискретные моменты времени.

Мы будем рассматривать сигналы, дискретные во временной области. Они представляют собой последовательности импульсов, появляющиеся в определенные моменты времени. Обычно дискретный сигнал получается в результате периодического прерывания непрерывного сигнала с постоянным периодом (тактом).

В цифровых системах управления обычно применяется лишь амплитудная модуляция импульсов, причем в основном тот ее вариант, при котором высота импульса пропорциональна текущему значению непрерывного сигнала, ширина постоянна, а интервалы между импульсами одинаковы и равны такту квантования.

Рисунок иллюстрирует принцип получения последовательности импульсов, основанный на прохождении непрерывного сигнала через ключ, который периодически с тактом квантования , замыкается на время .



Если длительность импульса существенно меньше периода квантования , , или , то последовательность импульсов можно приближенно рассматривать как дискретный сигнал -дискретную функцию, вид которой показан на рисунке




В этом случае ключ действует как идеальный квантующий элемент, и величины равны мгновенным значениям сигнала (амплитуд).

Модулированная по амплитуде дискретная функция , которая получается путем квантования по времени непрерывного сигнала с постоянным тактом математически описывается выражением

,

Наряду с функциями, определенными на всей вещественной оси , можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках Такие функции называются дискретными ( решетчатыми ).

Мы будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках , где - любое целое число, - постоянная, называемая периодом дискретности. Дискретные функции принято обозначать .

Любой непрерывной функции можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить аргумент в виде

При каждом фиксированном значении переменной функцию можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках . Такие функции называются смещенными дискретными (решетчатыми) функциями. Эти функции будем обозначать . Изменяя переменную от 0 до 1, можно получить множество смещенных решетчатых функций , соответствующих данной непрерывной функции . Благодаря непрерывности функции , функция является непрерывной по аргументу .



Функция является функцией одного аргумента при фиксированном значении . Поэтому в дальнейшем постоянную в обозначении дискретной функции будем опускать и дискретную функцию будем обозначать как Аналогично для смещенной дискретной функции -функция двух переменных и .

^ ТЕОРЕМА О КВАНТОВАНИИ.

Если моменты квантования следуют достаточно часто, то при квантовании непрерывного сигнала потери информации незначительны, и наоборот. В качестве примера можно привести квантование синусоиды.



Квантование синусоиды осуществляется два раза за период. Поэтому синусоида неотличима от нулевого сигнала, если частота синусоидального сигнала равна половине частоты квантования.

Для квантования непрерывного сигнала необходимо знать, при каких условиях непрерывный (аналоговый) сигнал однозначно представляется соответствующими дискретными функциями (своими дискретами). Следующая теорема определяет условия квантования периодической функции.

ТЕОРЕМА ШЕНОНА.

Непрерывный сигнал, преобразование которого по Фурье равны нулю вне интервала , однозначно представляется своими значениями в равноотстоящих точках, если частота квантования больше . При этом непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

, (1)

где – период квантования; - угловая частота квантования, ее размерность [1/с] (радиан в секунду).

Доказательство. Пусть – непрерывный сигнал; - его преобразование по Фурье

, (2)

(3)

Введем в рассмотрение функцию

, (4)

разложение которой в ряд Фурье имеет вид

, (5)

где .

Предположим теперь, что дискреты можно рассматривать как коэффициенты ряда Фурье для периодической функции . (Это проверяется непосредственными вычислениями). Тогда, используя определения коэффициентов Фурье и выражения (3) и (4), можно показать, что

. (6)

Отсюда следует, что квантованный сигнал однозначно определяет функцию . По условию теоремы функция равна нулю вне интервала . Если , то

. (7)

Таким образом, преобразование Фурье непрерывного сигнала однозначно представляется функцией , которая в свою очередь определяется дискретной функцией

.

Для доказательства справедливости (1) заметим, что она может быть получена из (2) и (7)





с учетом (5) и (6). Меняя порядок интегрирования и суммирования, имеем



.

Откуда получаем (1), т.к. .

Замечание 1. Частота , очевидно, играет важную роль – она называется частотой Найквиста.

Замечание 2. Формула (1) определяет восстановление сигналов, преобразование по Фурье которых стремится к нулю при частотах больших, чем частота Найквиста.

Замечание 3. Из-за наличия множителя в уравнении (4) иногда говорят, что операция квантования имеет коэффициент усиления .


  1   2   3   4   5

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического
Кроме этого широкое применение в теории цифровых систем нашли методы, которые используют аппарат передаточных функций

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Общие сведения о цифровых автоматических системах. Основные понятия и определения

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
Рассмотрим характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы управления

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория линейных...
Автоматика – область науки и техники, в которой рассматриваются вопросы исследования и проектирования технических систем, действующих...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных систем автоматического
Рассмотрим особые точки и фазовые портреты линейных систем, математическими моделями которых являются дифференциальные уравнения...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория нелинейных...
...

Лекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых систем автоматического iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» теория цифровых...
Дискретная система может быть работоспособной, т е выполнять свои функции только в том случае, если собственные движения в ней затухают....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск