«Теория вероятностей» Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения
Скачать 0.59 Mb.
|
Калининград 2012
Введение Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Под опытом понимается некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которой наблюдается то или иное явление. Опыт может представлять как одно испытание, так и серию испытаний. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Примеры случайных явлений: взвешивание тела на аналитических весах, подбрасывание монеты или игрального кубика. В данных примерах условия опыта неизменны, но результаты опыта варьируются. Эти вариации связаны с воздействием второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не оговоренных в числе основных условий. На практике существует большой класс задач, в которых интересующий исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что учесть их в полном объеме невозможно. При наблюдении совокупности однородных случайных явлений часто обнаруживается закономерность, получившая название устойчивости частот (бросание монеты при многократном повторении дает число выпадения герба, равное 1/2, бросание игрального кубика дает число выпадений грани с цифрой 6, равное 1/6; процент брака в отлаженном технологическом процессе). Проявление такого рода закономерности при массовом воспроизведении опыта позволяет сделать вывод о том, что отдельные индивидуальности случайных явлений тонут в суммарном результате опытов. Таким образом, базой для применения вероятностных (статистических) методов является свойство устойчивости частот в массовых случайных явлениях. Методы теории вероятностей не позволяют предсказать исход отдельного опыта, но дают возможность предсказать суммарный результат (в среднем) большого числа опытов. К примеру, случайным является движение молекул газа в сосуде, и не представляется возможным предсказать траекторию движения и скорость отдельной молекулы, однако давление газа на стенки сосуда (при большом числе молекул) является неслучайной величиной. Зарождение теории вероятностей связано с исследованиями Паскаля (1623–1662), Ферма (1601–1665), Гюйгенса (1629–1695) в области теории азартных игр, когда было сформулировано понятие вероятности, математического ожидания. Классическое определение вероятности события было введено Якобом Бернулли (1654–1705), им же был сформулирован закон больших чисел. В дальнейшем основы теории вероятностей закладывались работами таких математиков, как Муавр (1667–1754), Лаплас(1749–1827), Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). Большой вклад в развитие теории вероятностей внесла русская школа математики в лице П. Л. Чебышева (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918), А. Н. Колмогорова(1903–1987). Правила выполнения контрольной работы В процессе подготовки к зачету студенты выполняют индивидуальное задание по курсу «Теория вероятностей» и сдают зачет. Индивидуальное задание необходимо выполнять в тетради синими чернилами, оставляя поля для замечаний преподавателя. На обложке тетради должны быть четко написаны фамилия, имя, отчество студента, название дисциплины и группы. Индивидуальное задание должно содержать решение всех задач, указанных в задании, строго по своему варианту. Индивидуальное задание, содержащее решение не всех задач, а так же решение задач не своего варианта, не засчитываются. Решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи необходимо написать полностью ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения. Индивидуальное задание состоит из 11 задач. Каждая задача содержит 10 вариантов. Номер варианта индивидуального задания выбирается по последней цифре номера зачётной книжки. ^ События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события Событием называется результат некоторого опыта. Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить. Случайные события обозначаем А, В, С,… Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит. Достоверное событие обозначаем ^ . Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может. Невозможное событие обозначаем V. Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем А Ì В. События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В. Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В. Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий. Событием, противоположным событию А, называется событие  , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Условившись обозначать наступление события цифрой «1» и ненаступление – цифрой «0», сумму и произведение двух событий, а также противоположное событие можно определить следующими таблицами:
Пример 1. Опыт состоит в бросании игральной кости. Событие Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) – выпадение i очков; событие А – выпадение четного числа очков, В – выпадение нечетного числа очков, С – выпадение числа очков, кратного трем, и D – выпадение числа очков, большего трех. Выразите события А, В, С и D через Аi, (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Решение. Событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает А2, или А4, или А6. Это означает, что А = А2 + А4 + А6. Рассуждая аналогично, имеем: В = А1 + А3 + А5, С = А3 + А6 и D = А4 + А5 + А6. Пример 2. С помощью таблиц, определяющих А + В, АВ и , доказать равенство А +  = А + .Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:
Последние столбцы этих таблиц одинаковы, что и означает справедливость равенства А + = А + .Пример 3. С помощью таблицы перечислите все случаи наступления и ненаступления события А + ^ в зависимости от наступления и ненаступления событий А, В и С.Решение. Составим таблицу:
 Пример 4. Пусть А, В и С – события, означающие попадание точки соответственно в области А, В и С (рис.1). Что означает событие АВ + С? Решение. События АВ + С означает попадание точки в область ( А Ç В ) È С, которая на рисунке 2 заштрихована. Контрольное задание №1 1. Опыт состоит в том, что стрелок произвел 3 выстрела по мишени. Событие Аi – попадание в мишень при i-м выстреле (i = 1, 2,3). Выразите через А1, А2 и А3 следующие события: А – хотя бы одно попадание, В – три промаха, С – три попадания, D – хотя бы один промах, Е – не меньше двух попаданий, F – не больше одного попадания, G – попадание в мишень после первого выстрела. 2. Опыт состоит в бросании трех монет. Пусть монеты занумерованы и события Г1, Г2 и Г3 означают выпадение герба соответственно на первой, второй и третьей монетах. Выразите через Г1, Г2 и Г3 следующие события: А – выпадение одного герба и двух цифр, В – выпадение не более одного герба, С – число выпавших гербов меньше числа выпавших цифр, D – выпадение хотя бы двух гербов, Е – на первой монете выпал герб, а на остальных – цифры, F – на первой монете выпала цифра и хотя бы на одной из остальных выпал герб. 3. Пусть А, В и С – произвольные события. Что означают следующие события: ВС,  , ++, А+ В+ С, + С + В+ А?4. Прибор состоит из 2 блоков I типа и 3 блоков II типа. Событие Ak (k = 1,2) – исправен k-й блок I типа; Bi (i = 1, 2, 3) – исправен i-й блок II типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок I типа и не менее 2 блоков II типа. Выразите событие С, означающее работу прибора, через Ak и Bi.  5. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства, Вk ( k = 1, 2, 3, 4) – исправность k-го котла и Сi ( i = 1,2) – исправность i-й турбины; событие D – судно управляемое, что будет, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразите D и  через А, Вk и Сi. 6. Электрическая цепь составленная по схеме, приведенной на рисунке 3. Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, элемента Bi (i = 1,2) событие Bi . Запишите события С и  , если С означает разрыв цепи. 7. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 4. Выход из строя элемента Ak (k = 1,2) событие Ak, Элемента С – событие С и элемента Bi (i = 1,2) событие Bi .Запишите события D и , если D – разрыв цепи. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 5. Выход из строя элемента А – событие А, элемента Bk (i = 1,2) – событие Bk и элемента С – событие С.Запишите события D и , если D – разрыв цепи.9. Производятся наблюдения за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А – обнаружен ровно один из 4 объектов; В – обнаружен хотя бы один из объектов; С – обнаружено не менее 2 объектов; D – обнаружено ровно 2 объекта; Е – обнаружено ровно 3 объекта; F – обнаружены все 4 объекта. Укажите, в чем состоят события:
10. Опыт состоит в бросании точки в прямоугольник. События А, В и С означают соответственно попадание точки в области А, В и С (рис.6). Что означают следующие события: а) А + В + С; б) АВС; в)  +  + ;г) + + С; д) А + В + ; е) АВ + ; ж) АВ; з) А + С? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения. Часть II. Электричество и магнетизм / Перм... | | Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов заочного отделения. Часть III. Оптика. Атомная физика / Перм гос... |
| Д. т н., профессор В. П. Бакалов, к т н., доцент В. М. Рожков. Методические указания и контрольные задания №3 и №4 по курсу теория... | | «Общая электротехника и электроника», контрольные задания и методические указания по выполнению контрольных заданий, а также задания... |
| Данная методическая разработка составлена для студентов специальности 080110 «Экономика и бухучет (по отраслям)» заочного и очного... | | Лелеков Т. И. Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов. − Красноярск, Красноярский филиал... |
| И. П. Карначев. Методические указания и расчетно-графические задания по курсу теоретической механики для студентов заочного отделения... | | Методические указания предназначены для студентов 2 курса смф заочного отделения и составлены для организации работы студентов-заочников... |
| Цель контрольной работы – глубже изучить и практически освоить данную дисциплину. К написанию контрольной работы студент приступает... | | Экологическое право: Метод указания по написанию контрольных работ для студентов заочного отделения Юрид ин-та / Сиб фед ун-т; Сост.:... |
