Методические указания к контрольным работам по курсу “






Скачать 247.28 Kb.
НазваниеМетодические указания к контрольным работам по курсу “
страница1/3
Дата публикации09.02.2015
Размер247.28 Kb.
ТипМетодические указания
top-bal.ru > Математика > Методические указания
  1   2   3
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МОЛДОВЫ

 

Кафедра “Информационные Технологии”

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 

 

 

К контрольным работам по курсу

 

Теория систем”

 

для студентов заочного отделения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разработали:                                                      доктор-конф.    В.Драгонер

                                                                           ст. препод.        Ю.Балан

 

 

 

 

 

 

КИШИНЁВ- 2003

 

 

1.      Введение.

 

     Одной из основных проблем при проектировании систем автоматического управления является расчёт устойчивости систем, так как устойчивость есть необходимое условие работоспособности любой системы.

     Согласно математической оценке необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем является отрицательность вещественных частей всех корней их характеристических уравнений. Следовательно, для определения устойчивости системы придётся решать ее характеристическое уравнение, чтобы определить знаки корней последнего. Аналитическое решение алгебраических уравнений 3-го и 4-го порядков требует много времени, а уравнения 5-го и более высоких порядков аналитически вообще не решаются.

     Поэтому возникает вопрос, как определить знаки вещественных частей корней характеристического уравнения, а, следовательно, и определить устойчивость системы, не решая характеристического уравнения.

     Этим вопросом занимались многие учёные. В результате исследований были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости. Существует несколько критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают вопрос, лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости корней или нет. Практическое использование того или иного критерия для конкретной задачи определяется характером самой задачи:

-  алгебраические - а) критерий Рауса, б)  критерий Гурвица

-  частотные - а) критерий Михайлова б) критерий Найквиста

     Ниже приводятся краткие сведения по всем перечисленным критериям и примеры их практического использования.

     Приводятся также задания для контрольных работ, нацеленных для усвоения материала по устойчивости систем.

 

 

 

 

 

 

2.      Критерий устойчивости Рауса

 

Пусть характеристическое уравнения системы имеет вид

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image002.gif                     (1)

     Раус предложил свой критерий в виде неравенств, составленных по особым правилам из коэффициентов характеристического уравнения (1) замкнутой системы [л.1], применяется в виде таблицы.

 

Таблица 1

Значения

Номер строки

Номер столбца

I

II

III

…..

 

 

1

an

an-2

an-4

…..

 

 

2

an-1

an-3

an-5

…..

r0= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image004.gif

3

c13= an-2-r0 an-3

c23= an-4-r0 an-5

c33= an-6-r0 an-7



r1= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image006.gif

4

c14= an-3-r1 c23

c24= an-5-r1 c33

c34= an-7-r1 c43

……

r2= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image008.gif

5

c15= c23-r2 c24

c25= c33-r2 c34

c35= c43-r2 c44

……

 

….

….

…..

…..

…..



 

 

Правила составления таблицы видны из приведенного примера (Табл. 1).

 

Критерий Рауса формулируется так:

для того чтобы  система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все

величины (элементы) первого столбца таблицы Рауса были положительными при

положительном коэффициенте ап характеристического уравнения.

 

 

 

Пример.

Определим, устойчива ли система с характеристическим уравнением

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image010.gif

результаты расчётов по алгоритму Рауса предоставлены в таблице 2.

 

Таблица 2

Значения

Номер строки

Номер столбца

I

II

III

IV

--

1

an=a6=5

a4=20

a2=15

a0=1

--

2

an-1=a5=12

a3=25

a1=6

0

r0= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image012.gif=0,417

3

c13= 20-0,417*25=9,6

c23= 15-0,417*6=12,5

c33=1

0

r1= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image014.gif=1,25

4

c14= 25-1,25*12,5=9,4

c24= 6-1,25*1=4,75

c34=0

0

r2= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image016.gif=1,02

5

c15= 12,5-1,02*4,75=7,66

c25= 1

0

0

r3= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image018.gif=1,23

6

c16=4,75-1,23*1=3,52

0

0

0

r4= http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image020.gif=2,18

7

c17=1

0

0

0

 

     Так как все величины первого столбца таблицы 2 положительные, то эта система будет устойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.      Критерий устойчивости Гурвица (Hurwitz).

 

     Пусть задана характеристическое уравнения системы (1).

Составим таблицу коэффициентов, называемую таблицу Гурвица.

an-1

an-3

an-5

.

.

.

0

an

an-2

an-4

.

.

.

.

0

an-1

an-3

.

.

.

.

0

an

an-2

.

.

.

.

0

0

an-1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

.

a4

a2

a0

 

     Таблица Гурвица составляется по следующему правилу.

Первая строка образуется из коэффициентов уравнения с индексами n-1, n-3, т.д. Вторая – из коэффициентов уравнения с индексами n, n-2, n-4, и т.д. Каждая последующая строка образуется коэффициентами уравнения с индексами на единицу больше индексов предшествующей строки; при этом коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями. Таблица содержит n строк, где n – степень характеристического уравнения.

     Из таблицы Гурвица составляются определители к-го порядка http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image022.gif отчёркиванием в таблице к строк и к столбцов:

 

 

 

 

 

 

 

 

an-1

an-3

 

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image024.gif

;

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image026.gif

 

 

;

 

 

 

an

an-2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an-1

an-3

an-5

 

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image028.gif

an

an-2

an-4

и т. д.

 

0

an-1

an-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Критерий  Гурвица формулируется следующем образом:

Система устойчива, если ап>0 и все определители Гурвица больше нуля, т.e.  http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image022.gif>0,

где http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image030.gif.

 

 

     Для уравнения 5-й степени и выше пользоваться критерием Гурвица нецелесообразно, так как процесс раскрытия определителей высокого порядка становится неоправданно трудоёмким и громоздким. При неоднократных попытках предложить более простые методы раскрытия Гурвицевых определителей авторы приводили к алгоритму Рауса или очень близкому к нему алгоритму.

 

Пример.

 

Характеристическое уравнения системы имеет вид

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image032.gif

определитель устойчивости системы.

Решение.

Составим таблицу Гурвица.

1

1

0

1

2

0

0

1

1

 

Определитель http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image034.gif

 

 

1

1

 

http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image036.gif

 

 

=1*2-1*1=1>0

 

1

2

 

Определитель

 

 

 

Так как определители http://moldova.cc/dragoner/tslucmet_files/image022.gif>0, то данная система устойчива.

 

 

 

 

 

 
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Методические указания к контрольным работам по курсу “ icon1. Основные положения
Задания и методические указания к контрольным работам по курсу «Техническая механика» для всех специальностей дневного отделения....

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания и задания к контрольным работам составлены...
Тематика контрольных работ и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения по специальности

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания к семинарским
Культурология : методические указания к семинарским занятиям и контрольным работам / вистех (филиал) Волггасу; [сост. Г. Г. Иванов]....

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания к семинарским
Культурология : методические указания к семинарским занятиям и контрольным работам / вистех (филиал) Волггасу; [сост. Г. Г. Иванов]....

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания к лабораторным работам Министерство образования...
Основы представления знаний: Методические указания к лабораторным работам / Сост.: А. Н. Гущин; Балт гос техн ун-т. – Спб., 2008....

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconИнформационных технологий и связи российской федерации санкт-петербургский
Мешков А. В., Симонина А. А. Экономика: методические указания к контрольным работам (спец. 200900, 201100, 201000) / спбгут спб,...

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания к контрольным работам
В курсе фармакологии студенты получают не только общие, но и конкретные знания о фармакокинетике и фармакодинамике различных лекарственных...

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconПояснительная записка к контрольным работам по курсу «Основы экономической теории»
Согласно стандарту среднего (полного) общего образования по экономике, изучение экономики в старшей школе на профильном уровне направлено...

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания по выполнению контрольных работ по курсу "микроэкономика"...
Методические указания. / Отв ред. Ю. В. Матвеев, О. В. Трубецкая. Самара: Самарск гос экон унив., 2011. 99 с

Методические указания к контрольным работам по курсу “ iconМетодические указания к лабораторным работам по курсу «Электроника» (аналоговая техника) 2009 г
Цель работы: исследование одиночного усилительного каскада на биполярном транзисторе в схеме с общим эмиттером (ОЭ). Усилительный...



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск