Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал






Скачать 219.99 Kb.
НазваниеПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Дата публикации08.11.2013
Размер219.99 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
top-bal.ru > Математика > Программа дисциплины
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал

Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"



Факультет бизнес-информатики и прикладной математики

Программа дисциплины «Дифференциальные уравнения»



для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»

подготовки бакалавра

Автор программы:

Абрашкин А.А., д.ф.-м.н., abrash@hydro.appl.sci-nnov.ru


Одобрена на заседании кафедры математики «___»____________ 2012 г

Зав. кафедрой Е.М.Громов


Рекомендована секцией УМС “Математика” «___»____________ 2012 г

Председатель Е.М. Громов


Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород «___»_____________2012 г.

Председатель Н.С. Петрухин

Нижний Новгород, 2012
^ Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления, изучающих дисциплину «Дифференциальные уравнения».

Программа разработана в соответствии с:

- ОС ГОБУ ВПО ГУ-ВШЭ по направлению 010400.62 «Прикладная математика и

информатика»

- ООП для направления 010400.62 «Прикладная математика и информатика»

- Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.62 «Прикладная математика и информатика», утвержденным в 2012 году.


    ^ Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» являются овладение навыками решения обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. В курсе рассматриваются, в том числе, некоторые разделы теории дифференциальных и разностных уравнений, которые возникают при моделировании динамики систем: от механических до социально–экономических, в частности, объясняя некоторые закономерности развития экономики. Курс предполагает у студентов знания, предусмотренные программами курсов «Математический анализ» и «Линейная алгебра» для студентов направлений 010400.62 «Прикладная математика и информатика».

^

1Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате изучения курса дифференциальных уравнений студент должен:

  • Усвоить основные понятия и определения.

  • Отчётливо знать формулировки прочитанных в курсе теорем существования и единственности, уметь применять их к конкретным дифференциальным уравнениям.

  • Усвоить элементарные методы интегрирования и приобрести навыки в решении примеров, в которых требуется либо найти все решения данного уравнения, либо решить задачу Коши и изучить свойства найденного решения.

  • Овладеть общей теорией линейных уравнений и систем линейных уравнений (как обыкновенных дифференциальных, так и конечно – разностных), методами нахождения их решений. Чётко понимать структуру решений линейных уравнений и систем линейных уравнений.

  • Применять методы качественного исследования для построения интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка, исследовать поведение фазовых траекторий линейных систем второго порядка с постоянными вещественными коэффициентами.

  • Усвоить методы исследования устойчивости, как линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, так и линейных конечно-разностных уравнений.

  • Иметь представление об использовании дифференциальных и разностных уравнений в экономике и социологии.



В результате освоения дисциплины студент приобретает следующие компетенции:

Компетенция

Код по НИУ

Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)

Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции

Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования

(ОНК-4)

студент демонстрирует знакомство с законами естественнонаучных дисциплин и владение их методами в ходе учебной подготовки к решению задач профессиональной деятельности

развитие навыков теоретического исследования и активное привлечение средств визуализации, моделирования и компьютерного эксперимента в ходе выполнения расчетных заданий по дифференциальным уравнениям

Способность аналитически работать с информацией из различных источников

(ИК- 4)

в ходе подготовки к семинарским занятиям, лекциям и при выполнении домашних расчетных заданий студент получает и совершенствует навыки работы с информационными источниками различного типа

систематическое изучение конспектов и электронных версий лекций, литературы по учебному плану, руководств по работе в вычислительных компьютерных средах, обсуждения возникающих вопросов с преподавателем и коллективом учебной группы, поиск нужной информации в библиотеках и сети Интернет

Умение работать на компьютере, навыки использования основных классов прикладного программного обеспечения, работы в компьютерных сетях, составления баз данных

(ИК-2)

студент использует современные компьютерные технологии при выполнении учебного плана, применяет компьютерные вычислительные среды для самопроверки и проведения компьютерных экспериментов, интерпретирует и поясняет результаты своих исследований

совершенствование в компьютерных классах и в ходе выполнения самостоятельных работ в овладении комплексами компьютерной математики типа Mathcad, MATLAB, Maple, Mathematica

Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат

(ПК-2)

студент использует аппарат решения дифференциальных уравнений и инструментальные компьютерные средства, систематически анализирует получаемую информацию в ходе выполнения текущих учебных планов

решение задач домашних расчетных заданий, имеющих характер самостоятельного исследования с применением современных вычислительных средств и компьютерного экспериментирования


^

2Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу математических дисциплин базовой части математического и естественнонаучного блока, обеспечивающих общематематическую подготовку по направлению 010400. 62 «Прикладная математика и информатика».

При изучении данной дисциплины студенты должны владеть знаниями и компетенциями, соответствующими программе 1-го курса НИУ ВШЭ по математическому анализу.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

- “Методы оптимизации”;

- “Эконометрика”,

а также факультативных курсов, включенных в учебные планы студентов направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика».



    ^ Тематический план учебной дисциплины





^ Название темы

Всего

часов

Аудиторные

часы

Самостоятельная

работа

Лекции

Семинары




^ Часть I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1

Простейшие обыкновенные дифференциальные (ОДУ) уравнения первого порядка

14

2

2

10

2

ОДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах

22

4

4

14

3

Системы линейных ОДУ с постоянными

коэффициентами

18

2

2

14

4

Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами высших порядков

24

4

4

16

5

Комплексные числа

10

2

2

6

6

Решение систем линейных уравнений.

24

4

4

12

7

Устойчивость решений. Фазовый портрет линейных и нелинейных систем

14

2

2

8

8

Примеры и приложения

16

2

2

12




^ Часть II. Разностные уравнения

1

Разностные уравнения первого порядка

10

4

4

4

2

Разностные уравнения высших порядков

4

2

2

2

3

Устойчивость положений равновесия разностных уравнений

4

2

2

2




Итого:

162

32

32

106



^

3Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры

1

2




Текущий

(неделя)


Контрольная работа

5

12

Письменная работа 80 минут

Домашнее задание

9




Письменная работа 80 минут

Промежуточный

Зачет

*




Письменная работа 80 минут

Итоговый

Экзамен




*

Письменная работа 80 минут


Контроль знаний студентов включает формы текущего и итогового контроля. Текущий контроль осуществляется в течение двух модулей. По курсу предусмотрены текущий контроль знаний и работы студентов на семинарских занятиях, две контрольные работы и домашнее задание. Каждая форма текущего контроля оценивается 10-балльной оценкой, которая выставляется в рабочую ведомость преподавателя. По результатам текущего контроля организуются индивидуальные консультации в рамках второй половины рабочего дня преподавателя. Форма промежуточного контроля – письменный зачет, итогового – письменный экзамен по окончании двух модулей курса, которые оцениваются по 10-балльной шкале. Продолжительность зачета и экзамена –80 мин.

Критерии оценки знаний, навыков

Результатом проверки работы является оценка, выставляемая по 10-ти балльной шкале в соответствии со следующими критериями:

  • высшая оценка в 10 баллов выставляется при отличном выполнении задания, то есть при наличии полных (с детальными пояснениями и культурой выкладок), оригинальных и правильных решений задач, верных ответов и высококачественного оформления работы.

  • оценка в 7-8-9 баллов выставляется при наличии решений задач и правильных ответов, но при отсутствии какого-либо из выше перечисленных отличительных признаков, как, например: детальных выкладок или пояснений, качественного оформления, представления алгоритма или последовательности решения задач.

  • Оценка в 6 баллов выставляется при наличии отдельных неточностей в ответах (включая грамматические ошибки) или неточностях в решении задач непринципиального характера (описки и случайные ошибки арифметического характера).

  • Оценка в 5 баллов выставляется в случаях, когда в ответах и в решениях задач имеются неточности и ошибки, свидетельствующие о недостаточном понимании вопросов и требующие дополнительного обращения к тематическим материалам.

  • Оценка в 4 балла выставляется при наличии серьезных ошибок и пробелов в знаниях по контролируемой тематике.

  • Оценка в 3 балла выставляется при наличии лишь отдельных положительных моментов в представленной работе.

  • Оценка в 2 балла выставляется при полном отсутствии положительных моментов в представленной работе.

  • Оценка в 1 или 0 баллов выставляется в случаях, когда небрежные записи, неправильные ответы и решения, кроме того, сопровождаются какими-либо демонстративными проявлениями безграмотности или неэтичного отношения к изучаемой теме и предмету в целом.

Высший балл при оценивании видов работ, не допускающих контроля за личным выполнением (домашние расчетные задания), может быть увязан с результатами контрольной работы по текущей теме.
^

4Содержание дисциплины



Часть первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Решение уравнения. Интегральная кривая. Неявное и параметрическое задание решения. Происхождение дифференциального уравнения и его составление. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной. Геометрическая интерпретация. Метод изоклин. Задача Коши. Уравнение, правая часть которого не содержит искомой функции. Общее решение, частное решение. Теорема Пеано существования решения задачи Коши. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши. Теорема существования общего решения. Особое решение. Уравнение в дифференциалах. Понятие интеграла обыкновенного дифференциального уравнения. Общий интеграл. Общий интеграл в параметрической форме.
^

4.1.1.1Основная литература


[1-3]

4.1.1.2Дополнительная литература


[6-11]

Тема II. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах.

Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное уравнение. Метод Бернулли, метод вариации постоянной. Уравнения, приводимые к линейным: уравнения Бернулли, Эйлера. Метод введения параметра. Примеры дифференциальных уравнений, описывающих динамику некоторых экономических, социальных и биологических систем.

^

4.1.1.3Основная литература


[1-3]

4.1.1.4Дополнительная литература


[6-11]
Тема III. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальная система уравнений n -ого порядка, её решение, интегральная кривая. Фазовое пространство, точки равновесия.

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема о числе независимых первых интегралов. Автономная система уравнений. Точки равновесия. Свойства фазовых и интегральных кривых автономной системы уравнений. Первые интегралы автономной системы уравнений. Система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Однородная система линейных уравнений. Пространство решений. Фундаментальная система решений. Структура множества решений. Линейная зависимость решений от начальных данных. Определитель Вронского. Формула Лиувилля - Остроградского. Система линейных неоднородных уравнений. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.
^

4.1.1.5Основная литература


[1-3]

4.1.1.6Дополнительная литература


[6-11]
Тема IV. Уравнения n-ого порядка.

Понятие уравнения n -ого порядка. Решение уравнения, интегральная кривая. Некоторые уравнения допускающие понижение порядка. Уравнение n -ого порядка, разрешенное относительно старшей производной. Сведение его к системе уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное уравнение n -ого порядка с переменными коэффициентами. Пространство решений однородного линейного уравнения n -ого порядка. Структура множества решений. Линейная зависимость решения от начальных данных. Определитель Вронского. Линейное неоднородное уравнение n -ого порядка с переменными коэффициентами. Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.
^

4.1.1.7Основная литература


[1-3]

4.1.1.8Дополнительная литература


[6-11]
Тема V. Комплексные числа.

Определение. Вещественная и мнимая часть. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Сложение, умножение, деление. Корни n-ой степени из комплексного числа. Показательная функция комплексного числа е и тригонометрические функции sin Z и cos Z. Вещественные и комплексно сопряженные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
^

4.1.1.9Основная литература


[1]
Тема VI. Методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными вещественными коэффициентами.

Построение фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения n-ого порядка по корням характеристического уравнения (метод Эйлера). Построение частного решения линейного неоднородного уравнения в случае, когда правая часть является квазимногочленом. Построение фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений по корням характеристического уравнения (метод Эйлера). Редукция системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка к одному линейному дифференциальному уравнению n-ого порядка (на примере n=2).
^

4.1.1.10Основная литература


[1-3]

4.1.1.11Дополнительная литература


[6-11]
Тема VII. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений.

Основные понятия, определения и примеры. Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных автономных систем на плоскости: седло, центр, устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы. Исследование устойчивости решений нелинейных автономных систем на плоскости вблизи положений равновесия по линейному приближению при помощи матрицы Якоби. Приложения к исследованию экономических моделей.
^

4.1.1.12Основная литература


[1-3]

4.1.1.13Дополнительная литература


[6-11]
Часть вторая. Разностные уравнения.

Тема I. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка.

Разностное уравнение первого порядка в нормальной форме. Решение уравнения. Начальные условия. Задача Коши. Решение рекуррентного уравнения подстановкой.

Линейное уравнение первого порядка. Примеры: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, рост вклада в банке (простые и сложные проценты). Метод вариации постоянной.
^

4.1.1.14Основная литература


[3]

4.1.1.15Дополнительная литература


[7]
Тема II. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения
высших порядков с постоянными коэффициентами.


Разностные уравнения высших порядков в нормальной форме. Решение уравнения. Задача Коши. Линейное разностное уравнение n-ого порядка. Принцип суперпозиции для линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Общее решение однородного уравнения. Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть – квазимногочлен (резонансный и нерезонансный случаи ). Метод вариации постоянных (для случая n= 2).

^

4.1.1.16Основная литература


[3]

4.1.1.17Дополнительная литература


[7, 11]
Тема III. Устойчивость положения равновесия разностного
уравнения.


Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного уравнения первого порядка: x(t + 1)= V (x(t)). Примеры разностных уравнений первого порядка в экономике: паутинообразная модель, динамика дохода в упрощённой модели Кейнса. Примеры разностных уравнений второго порядка в экономике: Паутинообразная модель с обучением, модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (мультипликатор – акселлератор).
^

4.1.1.18Основная литература


[3]

4.1.1.19Дополнительная литература


[7, 11]


5Образовательные технологии


В ходе семинарских занятий осуществляется подробный разбор решений типичных задач текущей тематики, в том числе входящих в расчетные домашние задания.
^




5.1Методические указания студентам


Следует обратить особое внимание на вдумчивое и творческое овладение основными приемами дисциплины «Дифференциальные уравнения». Цель обучения состоит в выработке умения применять полученные знания при решении разнообразных прикладных вопросов, встречающихся в практике современного выпускника по направлению «Прикладная математика и информатика». Регламент работ и их оценок сообщается студентам в начале модулей.
^

6Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

6.1Тематика заданий текущего контроля. Образец срезовой контрольной работы


Контрольная работа №1. Вариант 1

1. Частным решением какого дифференциального уравнения является функция ?


























2. Указать тип и метод решения дифференциального уравнения

2.1.

2.2. .

2.3. .

2.4. .

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти частное решение уравнения при .

5. Найти общее решение уравнения .

6. Найти частное решение уравнения при .

7. Найти общее решение уравнения .
^

6.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Инструктивные материалы подготовки к срезовой контрольной работе

П О Д Г О Т О В К А К КР-1 (ДРУ)

^ Практические навыки:

УМЕТЬ: решать уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения 1-го порядка, линейные уравнения 1-го порядка, уравнение Бернулли и уравнение в полных дифференциалах.

БИЛЕТ: 7 заданий на решение дифференциальных уравнений

ОФОРМЛЕНИЕ: тонкая уч. тетрадь (или скрепите 5–6 двойных листов), подписанная так: КР-1 по дифференциальным и разностным уравнениям студента такого-то из такой-то группы, вариант такой-то.

^ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ИЗ КР ТОЛЬКО НА ЭТОЙ БУМАГЕ.

ВРЕМЯ: академическая пара (80 минут), без перерыва, покидать аудиторию во время КР запрещается.

Нарушения дисциплины решительно пресекаются. Задания оцениваются по 10-балльной системе, веса задач указываются преподавателем. Для КР-1 задания 1, 2.1-2.4 по 0,5 а 3-7 – по 1. Сумма весов обязательных задач составляет 1.
РЕКОМЕНДАЦИИ:

  • Лучшая подготовка к КР – решение разных задач по изучаемой теме (например, из методички с расчетными заданиями или любых других задачников, в частности, указанных в списке литературы).

  • Писать разборчиво, достаточно крупно и АККУРАТНО.

  • Просмотр работы - на след. практическом занятии. Претензии по проверке предъявить, вопросы задать, тетрадь в конце вернуть преподавателю.
^

6.3Примеры заданий итогового контроля


Образец итоговой экзаменационной контрольной работы

Вариант 1

1. Найти общее решение однородного уравнения .

2. Найти частное решение однородного уравнения при , .

3. Найти структуру частного решения неоднородного уравнения .

4. Найти частное решение неоднородного уравнения .

5. Найти общее решение системы уравнений

6. Найти общее решение уравнения .

7. Найти общее решение уравнения .

8. Найти частное решение уравнения при .

9. Найти общее решение однородного разностного уравнения .

10. Найти частное решение неоднородного разностного уравнения .
^

7Порядок формирования оценок по дисциплине


Накопленная оценка за текущий контроль первого этапа учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Онакопленная1 = 0,5 Ок/р1 + 0,5 Од/з

Опромежуточная=0.5Онакопл.1+ 0.5 Озачет.
Накопленная итоговая оценка Онакопленная Итоговая = промежуточная накопл.2):2

где Онакопл.2 = Ок/р2

Каждый вид работ оценивается по 10-бальной шкале. В диплом выставляется результирующая оценка по дисциплине (Орезультир), которая формируется по следующей формуле:

^ Орезультир=0.5Онакопл. Итоговая+ 0.5 Оэкзамен
На пересдаче студенту не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль; все результаты, полученные за промежуточные контроли, на пересдаче аннулируются. Студенту выставляется та оценка за курс, которую он получает на пересдаче.

^ Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системам.

По десятибалльной шкале

По пятибалльной шкале

1 – неудовлетворительно




2 – очень плохо

Неудовлетворительно - 2

3 – плохо




4 – удовлетворительно 5 – весьма удовлетворительно

удовлетворительно -3

6 – хорошо 7– очень хорошо

хорошо - 4

8 – почти отлично




9 – отлично

отлично - 5

10 –блестяще



^

8Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

8.1Базовые учебники


  1. Калягин В.А. Дифференциальные и разностные уравнения: учебное пособие. – Н.Новгород: НГТУ, 2006.

  2. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебник. – М.: Физматлит, 2002.

  3. Калягин В.А, Козырев О.Р., Куркин А.А., Петрухин Н.С. Дифференциальные и разностные уравнения. Н. Новгород: НГТУ, 2002.

  4. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению под редакцией Романко В.К. – М.-С.Пб.: Физматлит, 2002.

  5. Калягин В.А., Тютин В.В. Расчетные задания по дифференциальным уравнениям. Н.Новгород: НФ ГУ ВШЭ, 2004.


10.3 Дополнительная литература:

  1. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. М.-С.Пб.: Физматлит, 2001.

  2. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу дифференциальных и разностных уравнений. М.: Изд-во ГУ ВШЭ, 1998.

  3. Тихонов А.Н. Васильев А.Б. Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Наука, 1979.

  4. Самойленко А.М. Кривошея С.А. Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Высшая школа 1989.

  5. Gandolfo G. Economic dynamics. 1992

  6. Chiang A.C. Fundamental methods of mathematical economics. Mc Graw Hill. 1984.
    1. ^

      Справочники, словари, энциклопедии


  1. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: «Наука», 1974.
    1. ^

      Программные средства


Для успешного освоения дисциплины и контроля правильности самостоятельного решения задач по курсу, а также для облегчения визуализации решения задач, связанных с исследованием функций студенту рекомендуется использовать следующие программные средства: математические среды Maple, Mathcad, MATLAB, Mathematica, графические среды AGrapher (для функций одной переменной), 3DGrapher (для функций двух переменных).
    1. Дистанционная поддержка дисциплины


Не предусмотрена. On-line взаимодействие студентов и преподавателей может быть организовано посредством электронной почты (рассылка домашних заданий и проч).
  1. Материально-техническое обеспечение дисциплины


Не предусмотрено.


Автор программы А.А. Абрашкин

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов по направлению 080100. 62...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080500. 62 «менеджмент»...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 030900. 62 «Юриспруденция»,...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал Федерального...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 030900. 62 «Юриспруденция»,...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»,...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 080200....

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал Федерального...
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки, обучающихся...

Правительство Российской Федерации Нижегородский филиал iconПравительство Российской Федерации Нижегородский филиал
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 08100....



Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2018
контакты
top-bal.ru

Поиск